ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2014-08-14   
Кабина лифта, у которой расстояние от пола до потолка равно $2,7 м$, начала подниматься с постоянным ускорением $1,2 м/с^{2}$. Через $2,0 с$ после начала подъема с потолка кабины стал падать болт. Найти:
а) время свободного падения болта;
б) перемещение и путь болта за время свободного падения в системе отсчета, связанной с шахтой лифта.


Решение:



1) Так как$a = \frac{dv}{dy}$
$\int_{v_{0}}^{v} dv = \int_{0}^{t}a dt $
Решаем:
$v-v_{0} = at$
$v= v_{0} + at$ (1)
В системе связанной с кабиной лифта $v_{0}=0, a = a_{л} + g$
Значит $v = (a_{л} + g) \cdot t_{св}$
$v = \frac{dx}{dt}$
$(a_{л} + g) \cdot t_{я}= \frac{dx}{dt}$
$(a_{л} + g) \cdot \int_{0}^{t_{св}} t dt = \int_{x_{0}}^{x} dx$
$(a_{л} + g) \cdot \frac{t^{2}_{св}}{2} = x – x_{0}$
$x = x_{0} + (a_{л} + g) \cdot \frac{t^{2}_{св}}{2}$
Возьмем начало координат на потолке лифта. Тогда $x_{0} = 0$. Когда болт долетит до пола $x = h$
$h = \frac{(a_{л}+g) \cdot t^{2}_{св}}{2} \leftarrow t_{св} = \sqrt{\frac{2h}{a_{л}+g}}$
$t_{св} = \sqrt{\frac{2 \cdot 2,7}{1,2 + 9,8}} \approx = 0,7 с$

2) В системе отсчета, связанной с шахтой лифта, уравнение (1) приобретет другой вид:
$v_{0} = -a_{л} \cdot t_{0}, a=g$
$-a_{л}t_{0} + gt = \frac{dx}{dt}$
$\int_{0}^{t_{св}} (-a_{л}t_{0}+gt) dt = \int_{x_{0}}^{x} dx$
$-a_{л}t_{0}t_{св} + \frac{gt^{2}_{св}}{2} = x –x_{0}$
$x_{0} = 0$
$x = -a_{л}t_{0}t_{св} + \frac{gt_{св}^{2}}{2}$ - перемещение болта
$x = -1,2 \cdot 2 \cdot 0,7 + \frac{9,8 \cdot 0,7^{2}}{2} \approx 0,72 м$
По формуле (1) определим, когда скорость болта относительно шахты лифта равна нулю
$v = v_{0} + at$
$v= 0, v_{0}= - a_{л}t_{0}, a = g$
$0 = - a_{л}t_{0} + gt \leftarrow t= \frac{a_{л}t_{0}}{g} = \frac{2,4}{9,8} \approx 0,245 с$
За это время он переместиться относительно шахты
$\Delta x = - v_{0}t + \frac{gt^{2}}{2} = -2,4 \cdot 0,245 + \frac{9,8 \cdot 0,245^{2}}{2} = -0,29 м$
А весь путь будет равен
$S = \Delta S + 2 |\Delta x| = 0,72 + 2 \cdot 0,29 = 1,3 м$