Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 7577
2018-05-14 
Круговой контур с током лежит на плоской границе раздела вакуума и магнетика. Проницаемость последнего равна $\mu$. Найти индукцию $\vec{B}$ магнитного поля в произвольной точке на оси контура, если индукция поля в этой точке в отсутствие магнетика равна $\vec{B}_{0}$. Обобщить полученный результат на все точки поля.
Решение:
Среда I является вакуумной и содержит контур, несущий ток $I$. Среда II является магнитной с проницаемостью $\mu$. Граница - это плоскость $z = 0$, контур находится в плоскости $z = l$. Чтобы найти магнитную индукцию, отметим, что влияние магнитной среды можно записать из с помощью метода изображения. С другой стороны, индукция в II может быть записана от контура в I, несущей другой ток. Достаточно рассмотреть далекие поля и обеспечить, чтобы там выполнялись граничные условия. Теперь для реального контура в среде I,
$B_{r} = - \frac{2p_{m} \cos \theta^{ \prime} }{r^{3} } \left ( \frac{ \mu_{0} }{4 \pi} \right ), B_{ \theta} = \frac{p_{m} \sin \theta^{ \prime} }{r^{3} } \left ( \frac{ \mu}{4 \pi} \right )$
Итак, $B_{2} = \frac{ \mu_{0}p_{m} }{4 \pi} (2 \cos^{2} \theta^{ \prime} - \sin^{2} \theta^{ \prime} ) $ и $B_{x} = \frac{ \mu_{0}p_{m} }{4 \pi} (-3 \sin \theta^{ \prime} \cos \theta^{ \prime} ) $
где $p_{m} = I ( \pi a^{2}), a =$ радиус контура.
Подобным образом от контура изображения,
$B_{z} = \frac{ \mu_{0}p_{m}^{ \prime \prime} }{4 \pi} (2 \cos^{2} \theta^{ \prime} - \sin^{2} \theta^{ \prime} ), B_{x} = \frac{ \mu_{0}p_{m}^{ \prime \prime } }{4 \pi} (3 \sin \theta^{ \prime} \cos \theta^{ \prime} ) , p_{m}^{ \prime} = I^{ \prime} ( \pi a^{2} )$
Что касается среды II, то мы пишем аналогично
$B_{z} = \frac{ \mu_{0}p_{m}^{ \prime \prime} }{4 \pi} (2 \cos^{2} \theta^{ \prime} - \sin^{2} \theta^{ \prime} ), B_{x} = \frac{ \mu_{0}p_{m}^{ \prime \prime } }{4 \pi} (-3 \sin \theta^{ \prime} \cos \theta^{ \prime} ) , p_{m}^{ \prime \prime} = I^{ \prime \prime} ( \pi a^{2} )$
Граничные условия: $p_{m} + p_{m}^{ \prime} = p^{ \prime \prime}_{m}$ (из $B_{1n} = B_{2n}$)
$- p_{m} + p_{m}^{ \prime} = - \frac{1}{ \mu} p_{m}^{ \prime \prime}$ (из $H_{1t} = H_{2t}$)
Таким образом, $I^{ \prime \prime} = \frac{2 \mu}{ \mu + 1} I, I^{ \prime} = \frac{ \mu - 1}{ \mu + 1}I$
В пределе, когда контур находится на границе, магнитное поле, везде может рассматриваться как $\frac{2 \mu}{ \mu + 1} I$. Таким образом, $\vec{B} = \frac{2 \mu}{ \mu + 1} \vec{B}_{0}$
Круговой контур с током лежит на плоской границе раздела вакуума и магнетика. Проницаемость последнего равна $\mu$. Найти индукцию $\vec{B}$ магнитного поля в произвольной точке на оси контура, если индукция поля в этой точке в отсутствие магнетика равна $\vec{B}_{0}$. Обобщить полученный результат на все точки поля.
Решение:
Среда I является вакуумной и содержит контур, несущий ток $I$. Среда II является магнитной с проницаемостью $\mu$. Граница - это плоскость $z = 0$, контур находится в плоскости $z = l$. Чтобы найти магнитную индукцию, отметим, что влияние магнитной среды можно записать из с помощью метода изображения. С другой стороны, индукция в II может быть записана от контура в I, несущей другой ток. Достаточно рассмотреть далекие поля и обеспечить, чтобы там выполнялись граничные условия. Теперь для реального контура в среде I,
$B_{r} = - \frac{2p_{m} \cos \theta^{ \prime} }{r^{3} } \left ( \frac{ \mu_{0} }{4 \pi} \right ), B_{ \theta} = \frac{p_{m} \sin \theta^{ \prime} }{r^{3} } \left ( \frac{ \mu}{4 \pi} \right )$
Итак, $B_{2} = \frac{ \mu_{0}p_{m} }{4 \pi} (2 \cos^{2} \theta^{ \prime} - \sin^{2} \theta^{ \prime} ) $ и $B_{x} = \frac{ \mu_{0}p_{m} }{4 \pi} (-3 \sin \theta^{ \prime} \cos \theta^{ \prime} ) $
где $p_{m} = I ( \pi a^{2}), a =$ радиус контура.
Подобным образом от контура изображения,
$B_{z} = \frac{ \mu_{0}p_{m}^{ \prime \prime} }{4 \pi} (2 \cos^{2} \theta^{ \prime} - \sin^{2} \theta^{ \prime} ), B_{x} = \frac{ \mu_{0}p_{m}^{ \prime \prime } }{4 \pi} (3 \sin \theta^{ \prime} \cos \theta^{ \prime} ) , p_{m}^{ \prime} = I^{ \prime} ( \pi a^{2} )$
Что касается среды II, то мы пишем аналогично
$B_{z} = \frac{ \mu_{0}p_{m}^{ \prime \prime} }{4 \pi} (2 \cos^{2} \theta^{ \prime} - \sin^{2} \theta^{ \prime} ), B_{x} = \frac{ \mu_{0}p_{m}^{ \prime \prime } }{4 \pi} (-3 \sin \theta^{ \prime} \cos \theta^{ \prime} ) , p_{m}^{ \prime \prime} = I^{ \prime \prime} ( \pi a^{2} )$
Граничные условия: $p_{m} + p_{m}^{ \prime} = p^{ \prime \prime}_{m}$ (из $B_{1n} = B_{2n}$)
$- p_{m} + p_{m}^{ \prime} = - \frac{1}{ \mu} p_{m}^{ \prime \prime}$ (из $H_{1t} = H_{2t}$)
Таким образом, $I^{ \prime \prime} = \frac{2 \mu}{ \mu + 1} I, I^{ \prime} = \frac{ \mu - 1}{ \mu + 1}I$
В пределе, когда контур находится на границе, магнитное поле, везде может рассматриваться как $\frac{2 \mu}{ \mu + 1} I$. Таким образом, $\vec{B} = \frac{2 \mu}{ \mu + 1} \vec{B}_{0}$
