ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-05-14   
Индукция магнитного поля в вакууме вблизи плоской поверхности магнетика равна $B$, и вектор $\vec{B}$ составляет угол $\theta$ с нормалью $\vec{n}$ к поверхности (рис.). Магнитная проницаемость магнетика равна $\mu$. Найти:
а) поток вектора $\vec{H}$ через поверхность сферы $S$ радиуса $R$, центр которой лежит на поверхности магнетика;
б) циркуляцию вектора $\vec{B}$ по квадратному контуру $\vec{ \Gamma}$ со стороной $l$, расположенному, как показано на рисунке.



Решение:



(a) $\oint \vec{H} \cdot d \vec{S} = \oint \left ( \frac{ \vec{B} }{ \mu_{0} } - \vec{J} \right ) \cdot d \vec{S} = - \oint \vec{J} \cdot d \vec{S}$, поскольку $\oint \vec{B} \cdot d \vec{S} = 0$

Тогда $\vec{J}$ отличен от нуля только в нижней половине сферы.

Здесь, $B_{n}^{ \prime} = B \cos \theta, H_{t}^{ \prime} = \frac{1}{ \mu_{0} } B \sin \theta, B_{t}^{ \prime} = \mu B \sin \theta, H_{n}^{ \prime} = \frac{B}{ \mu \mu_{0} } \cos \theta$

$J_{n} = \frac{B \cos \theta}{ \mu_{0} } \left ( 1 - \frac{1}{ \mu} \right )$ и $J_{t} = \frac{ \mu - 1 }{ \mu_{0} } B \sin \theta$

Только $J_{n}$ вносит вклад в интеграл поверхности значит

$- \oint \vec{J} \cdot d \vec{S} = - \oint_{низ} \vec{J} \cdot d \vec{S} = \int_{ низ} J_{n}dS = \frac{ \pi R^{2} B \cos \theta }{ mu_{0} } \left ( 1 - \frac{1}{ \mu} \right )$

(б) $\oint_{ \Gamma} \vec{B} \cdot d \vec{r} = (B_{t} - B_{t}^{ \prime} ) l = (1 - \mu) Bl \sin \theta$