Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 757
2014-08-14 
Автомашина движется с нулевой начальной скоростью по прямому пути сначала с ускорением #w = 5,0 м/с^{2}#,
затем равномерно и, наконец, замедляясь с тем же ускорением #w#, останавливается. Все время движения #\tau = 25 с#.
Средняя скорость за это время #\overline{v} = 72 км/ч#. Сколько времени автомашина двигалась равномерно?
Решение:
Так как по условию на первом и третьем участке машина движется равноускоренно и равнозамедленно с одинаковым ускореним, то она
проходит одинаковые пути за одно время.
Уравнение движения для трех участков:
#S_{1} = \frac{wt_{1}^{2}}{2} \: S_{2} = v t_{2} \: S_{3} = vt_{3} - \frac{wt^{2}_{3}}{2}#
А также #S = \overline{v} \tau #. Искомое время - #t_{2}#.
т.к. #S_{1} = S_{3}# и #t_{1}=t_{3}#, получим:
#\frac{wt_{1}^{2}}{2} = vt_{1} - \frac{wt_{1}^{2}}{2} \Rightarrow wt_{1}^{2} = vt_{1} \Rightarrow v = wt_{1}#
Но #t_{1} = \tau - t_{2} - t_{3} = \tau - t_{2} - t_{1} \Rightarrow t_{1} = \frac{\tau - t_{2}}{2}#
Подставляя, находим скорость на втором участке:
#v = w \left ( \frac{\tau - t_{2}}{2} \right )#
С другой стороны, т.к. #|S_{1}| = |S_{3}| = \frac{v^{2}}{2w}#, то #S_{1} + S_{3} = S - S_{2} = \frac{v^{2}}{w}#
Но #S - S_{2} = \overline{v} \tau - vt_{2}#. Приравнивая и подставляя #v#:
#\overline{v} \tau - vt_{2} = \frac{v^{2}}{w} \Rightarrow \overline{v} \tau - w \left ( \frac{\tau - t_{2}}{2} \right ) t_{2} = \frac{w^{2} \left ( \frac{\tau - t_{2}}{2} \right )^{2}}{w}#
#\overline{v} \tau - \frac{w \tau t_{2}}{2} + \frac{wt_{2}^{2}}{2} = \frac{w}{4} (\tau^{2} - 2 \tau t_{2} + t_{2}^{2})#
#\overline{v} \tau - \frac{w \tau t_{2}}{2} + \frac{wt_{2}^{2}}{2} = \frac{w \tau^{2}}{4} - \frac{w \tau t_{2}}{2} + \frac{wt^{2}_{2}}{4} #
#\overline{v} \tau + \frac{wt^{2}_{2}}{4} - \frac{w \tau^{2}}{4} = 0 \Rightarrow wt^{2}_{2} + 4\overline{v} \tau - w \tau^{2} = 0#
#wt^{2}_{2} = w \tau^{2} - 4\overline{v} \tau \Rightarrow t_{2} = \sqrt{\frac{w \tau^{2} - 4\overline{v} \tau}{w}} = \sqrt{\tau^{2} - \frac{4 \overline{v} \tau}{w}} =
\sqrt{\tau^{2} \left ( 1 - \frac{4 \overline{v}}{w \tau} \right ) } \Rightarrow t_{2} = \tau \sqrt{1 - \frac{4 \overline{v}}{w \tau}}#
Автомашина движется с нулевой начальной скоростью по прямому пути сначала с ускорением #w = 5,0 м/с^{2}#,
затем равномерно и, наконец, замедляясь с тем же ускорением #w#, останавливается. Все время движения #\tau = 25 с#.
Средняя скорость за это время #\overline{v} = 72 км/ч#. Сколько времени автомашина двигалась равномерно?
Решение:
Так как по условию на первом и третьем участке машина движется равноускоренно и равнозамедленно с одинаковым ускореним, то она
проходит одинаковые пути за одно время.
Уравнение движения для трех участков:
#S_{1} = \frac{wt_{1}^{2}}{2} \: S_{2} = v t_{2} \: S_{3} = vt_{3} - \frac{wt^{2}_{3}}{2}#
А также #S = \overline{v} \tau #. Искомое время - #t_{2}#.
т.к. #S_{1} = S_{3}# и #t_{1}=t_{3}#, получим:
#\frac{wt_{1}^{2}}{2} = vt_{1} - \frac{wt_{1}^{2}}{2} \Rightarrow wt_{1}^{2} = vt_{1} \Rightarrow v = wt_{1}#
Но #t_{1} = \tau - t_{2} - t_{3} = \tau - t_{2} - t_{1} \Rightarrow t_{1} = \frac{\tau - t_{2}}{2}#
Подставляя, находим скорость на втором участке:
#v = w \left ( \frac{\tau - t_{2}}{2} \right )#
С другой стороны, т.к. #|S_{1}| = |S_{3}| = \frac{v^{2}}{2w}#, то #S_{1} + S_{3} = S - S_{2} = \frac{v^{2}}{w}#
Но #S - S_{2} = \overline{v} \tau - vt_{2}#. Приравнивая и подставляя #v#:
#\overline{v} \tau - vt_{2} = \frac{v^{2}}{w} \Rightarrow \overline{v} \tau - w \left ( \frac{\tau - t_{2}}{2} \right ) t_{2} = \frac{w^{2} \left ( \frac{\tau - t_{2}}{2} \right )^{2}}{w}#
#\overline{v} \tau - \frac{w \tau t_{2}}{2} + \frac{wt_{2}^{2}}{2} = \frac{w}{4} (\tau^{2} - 2 \tau t_{2} + t_{2}^{2})#
#\overline{v} \tau - \frac{w \tau t_{2}}{2} + \frac{wt_{2}^{2}}{2} = \frac{w \tau^{2}}{4} - \frac{w \tau t_{2}}{2} + \frac{wt^{2}_{2}}{4} #
#\overline{v} \tau + \frac{wt^{2}_{2}}{4} - \frac{w \tau^{2}}{4} = 0 \Rightarrow wt^{2}_{2} + 4\overline{v} \tau - w \tau^{2} = 0#
#wt^{2}_{2} = w \tau^{2} - 4\overline{v} \tau \Rightarrow t_{2} = \sqrt{\frac{w \tau^{2} - 4\overline{v} \tau}{w}} = \sqrt{\tau^{2} - \frac{4 \overline{v} \tau}{w}} =
\sqrt{\tau^{2} \left ( 1 - \frac{4 \overline{v}}{w \tau} \right ) } \Rightarrow t_{2} = \tau \sqrt{1 - \frac{4 \overline{v}}{w \tau}}#
