ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-05-14   
Вдоль длинного тонкостенного круглого цилиндра радиуса $R$ течет ток $I$. Какое давление испытывают стенки цилиндра?


Решение:



Пусть $t$ - толщина стенки цилиндра. Тогда, $J = I/2 \pi Rt$ вдоль оси z. Магнитное поле, на расстоянии $r$
$\left ( R - \frac{t}{2} < r < R + \frac{t}{2} \right )$,

$B_{ \phi} (2 \pi r) = \mu_{0} \frac{I}{2 \pi Rt} \pi \left ( r^{2} - \left ( R - \frac{t}{2} \right )^{2} \right )$

или, $B_{ \phi} (2 \pi r) = \frac{I \mu_{0} }{4 \pi Rt} ( r^{2} - (R - t/2)^{2} )$

Тогда $\vec{F} = \int \vec{J} \times \vec{B} dV$

Окончательно $p = \frac{F_{r}}{2 \pi RL} = \frac{1}{2 \pi RL} \int_{ R - \frac{t}{2} }^{R + \frac{t}{2} } \frac{ \mu_{0}I^{2} }{8 \pi^{2} R^{2}t^{2}r } \left ( r^{2} - \left ( R - \frac{t}{2} \right )^{2} \right ) 2 \pi r L dr = \frac{ \mu_{0}I^{2} }{8 \pi^{2} R^{3}t^{2} } \int_{ R - \frac{t}{2} }^{R + \frac{t}{2} } \left ( r^{2} - \left ( R - \frac{t}{2} \right )^{2} \right ) dr = \frac{ \mu_{0}I^{2} }{8 \pi^{2} R^{3}t^{2} } \left ( \frac{ \left ( R + \frac{t}{2} \right )^{3} - \left ( R - \frac{t}{2} \right )^{3} }{3} - \left ( R - \frac{t}{2} \right )^{2} t \right ) = \frac{ \mu_{0}I^{2} }{8 \pi^{2} R^{3}t^{2} } [Rt + 0(t^{2} ) ] \approx \frac{ \mu_{0}I^{2} }{8 \pi^{2} R^{2} }$