Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 7548
2018-05-14 
Длинный диэлектрический цилиндр радиуса $R$ статически поляризован так, что во всех его точках поляризованность $\vec{P} = \alpha \vec{r}$, где $\alpha$ — положительная постоянная, $\vec{r}$ — расстояние от оси. Цилиндр привели во вращение вокруг его оси с угловой скоростью $\vec{ \omega}$. Найти индукцию $\vec{B}$ магнитного поля в центре цилиндра.
Решение:
Из-за поляризации в цилиндре присутствует объемный заряд. Плотностью
$\rho_{p} = - div \vec{P} = - 2 \alpha$
Поскольку цилиндр в целом нейтрален, поверхностная плотность заряда $\sigma_{p}$ должна присутствовать на поверхности цилиндра. Она имеет величину (алгебраически)
$\sigma_{p} 2 \pi R = 2 \alpha \pi R^{2}$ или, $\sigma_{p} = \alpha R$
Когда цилиндр вращается, устанавливаются токи, которые вызывают магнитные поля. Вклад $\rho_{p}$ и $\sigma_{p}$ можно рассчитать отдельно, а затем добавить.
Для поверхностного заряда ток (для конкретного элемента)
$\alpha R \cdot 2 \pi R dx \frac{ \omega }{2 \pi} = \alpha R^{2} \omega dx$
Его вклад в магнитное поле в центре
$\frac{ \mu_{0}R^{2} ( \alpha R^{2} \omega dx ) }{2 (x^{2} + R^{2} )^{3/2} }$
и полное магнитное поле
$B_{s} = \int_{ \infty}^{ - \infty} \frac{ \mu_{0}R^{2} ( \alpha R^{2} \omega dx ) }{2( x^{2} + R^{2} )^{3/2} } = \frac{ \mu_{0} \alpha R^{4} \omega }{2} \int_{ - \infty}^{ infty} \frac{dx}{ (x^{2} + R^{2} )^{3/2} } = \frac{ \mu_{0} \alpha R^{4} \omega }{2} \frac{2}{R^{2} } = \mu_{0} \alpha R^{2} \omega$
Что касается плотности объемного заряда, рассмотрим окружность радиуса $r$, радиальной толщины $dr$ и длины $dx$.
Ток равен $2 \alpha \cdot 2 \pi r dr dx \cdot \frac{ \omega}{2 \pi} = - 2 \alpha r dr \omega dx$
Полное магнитное поле, из-за распределения объемного заряда,
$B_{v} = - \int_{0}^{R} dr \int_{ - \infty}^{ \infty} dx 2 \pi r \omega \frac{ \mu_{0} r^{2} }{2(x^{2} + r^{2} )^{3/2} } = - \int_{0}^{R} \alpha \mu_{0} \omega r^{3} dr \int_{ - \infty}^{ \infty} dx (x^{2} + r^{2} )^{3/2} = - \int_{0}^{R} \alpha \mu_{0} \omega r dr \cdot 2 = - \mu_{0} \alpha \omega R^{2}$
так как, $B = B_{s} + B_{v} = 0$
Длинный диэлектрический цилиндр радиуса $R$ статически поляризован так, что во всех его точках поляризованность $\vec{P} = \alpha \vec{r}$, где $\alpha$ — положительная постоянная, $\vec{r}$ — расстояние от оси. Цилиндр привели во вращение вокруг его оси с угловой скоростью $\vec{ \omega}$. Найти индукцию $\vec{B}$ магнитного поля в центре цилиндра.
Решение:
Из-за поляризации в цилиндре присутствует объемный заряд. Плотностью
$\rho_{p} = - div \vec{P} = - 2 \alpha$
Поскольку цилиндр в целом нейтрален, поверхностная плотность заряда $\sigma_{p}$ должна присутствовать на поверхности цилиндра. Она имеет величину (алгебраически)
$\sigma_{p} 2 \pi R = 2 \alpha \pi R^{2}$ или, $\sigma_{p} = \alpha R$
Когда цилиндр вращается, устанавливаются токи, которые вызывают магнитные поля. Вклад $\rho_{p}$ и $\sigma_{p}$ можно рассчитать отдельно, а затем добавить.
Для поверхностного заряда ток (для конкретного элемента)
$\alpha R \cdot 2 \pi R dx \frac{ \omega }{2 \pi} = \alpha R^{2} \omega dx$
Его вклад в магнитное поле в центре
$\frac{ \mu_{0}R^{2} ( \alpha R^{2} \omega dx ) }{2 (x^{2} + R^{2} )^{3/2} }$
и полное магнитное поле
$B_{s} = \int_{ \infty}^{ - \infty} \frac{ \mu_{0}R^{2} ( \alpha R^{2} \omega dx ) }{2( x^{2} + R^{2} )^{3/2} } = \frac{ \mu_{0} \alpha R^{4} \omega }{2} \int_{ - \infty}^{ infty} \frac{dx}{ (x^{2} + R^{2} )^{3/2} } = \frac{ \mu_{0} \alpha R^{4} \omega }{2} \frac{2}{R^{2} } = \mu_{0} \alpha R^{2} \omega$
Что касается плотности объемного заряда, рассмотрим окружность радиуса $r$, радиальной толщины $dr$ и длины $dx$.
Ток равен $2 \alpha \cdot 2 \pi r dr dx \cdot \frac{ \omega}{2 \pi} = - 2 \alpha r dr \omega dx$
Полное магнитное поле, из-за распределения объемного заряда,
$B_{v} = - \int_{0}^{R} dr \int_{ - \infty}^{ \infty} dx 2 \pi r \omega \frac{ \mu_{0} r^{2} }{2(x^{2} + r^{2} )^{3/2} } = - \int_{0}^{R} \alpha \mu_{0} \omega r^{3} dr \int_{ - \infty}^{ \infty} dx (x^{2} + r^{2} )^{3/2} = - \int_{0}^{R} \alpha \mu_{0} \omega r dr \cdot 2 = - \mu_{0} \alpha \omega R^{2}$
так как, $B = B_{s} + B_{v} = 0$
