ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-05-14   
Заряд $q$ равномерно распределен по объему однородного шара массы $m$ и радиуса $R$, который вращается вокруг оси, проходящей через его центр, с угловой скоростью $\omega$. Найти соответствующий магнитный момент и его отношение к механическому моменту.


Решение:


Магнитный момент должен четко проходить вдоль оси вращения. Рассмотрим объем элемент $dV$. Он содержит заряд $\frac{q}{4 \pi /3 R^{3} } dV$. Вращение сферы заставляет этот заряд вращаться вокруг оси и полученный ток.

$\frac{3q}{4 \pi R^{3} } dV \times \frac{ \omega}{2 \pi}$

Его магнитный момент будет

$\frac{3q}{4 \pi R^{3} } dV \times \frac{ \omega}{2 \pi} \times \pi r^{2} \sin^{2} \theta$

Таким образом, полный магнитный момент

$p_{m} = \int_{0}^{R} \int_{0}^{ \pi} \frac{3q}{2R^{3} } r^{2} \sin \theta d \theta \frac{ \omega r^{2} \sin^{2} \theta }{2} dr = \frac{3q}{2R^{3} } \frac{ \omega }{2} \frac{R^{5} }{5} \frac{4}{3} = \frac{1}{5} qR^{2} \omega$

Механический момент

$M = \frac{2}{5} mR^{2} \omega$, Итак, $\frac{p_{m} }{M} = \frac{q}{2m}$.