Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 7544
2018-05-14 
Тонкий провод (с изоляцией) образует плоскую спираль из $N = 100$ плотно расположенных витков, по которым течет ток $I = 8 мА$. Радиусы внутреннего и внешнего витков (рис.) равны $a = 50 мм, b = 100 мм$. Найти:
а) индукцию магнитного поля в центре спирали;
б) магнитный момент спирали при данном токе.
Решение:
(a) Из закона Био-Савара магнитная индукция из-за круговой токопроводящей петли в ее центре дается,
$B_{r} = \frac{ \mu_{0} }{2r} i$
Плоская спираль состоит из концентрических круговых петель, имеющих разные радиусы, варьирующие от $a$ до $b$. Поэтому полная магнитная индукция в центре,
$B_{0} = \int \frac{ \mu_{0} }{2 r} dN$ (1)
где $\frac{ \mu_{0} }{2r} i$ - вклад одного витка радиуса $r$ а $dN$ - число витков в интервал $(r, r + dr)$
то есть $dN = \frac{N}{b - a} dr$
Подставляя в уравнение (1) и интегрируя результат по $r$ между $a$ и $b$, получаем:
$B_{0} = \int_{a}^{b} \frac{ \mu_{0} i }{2r} \frac{N}{(b - a)}dr = \frac{ \mu iN}{2(b - a)} ln \frac{b}{a}$
(б) Магнитный момент витка радиуса $r$ равен $p_{m} = i \pi r^{2}$ и всех витков,
$p = \int p_{m} dN = \int_{a}^{b} i \pi r^{2} \frac{N}{b - a} dr = \frac{ \pi i N (b^{3 } - a^{2} ) }{3(b - a)}$
Тонкий провод (с изоляцией) образует плоскую спираль из $N = 100$ плотно расположенных витков, по которым течет ток $I = 8 мА$. Радиусы внутреннего и внешнего витков (рис.) равны $a = 50 мм, b = 100 мм$. Найти:
а) индукцию магнитного поля в центре спирали;
б) магнитный момент спирали при данном токе.
Решение:
(a) Из закона Био-Савара магнитная индукция из-за круговой токопроводящей петли в ее центре дается,
$B_{r} = \frac{ \mu_{0} }{2r} i$
Плоская спираль состоит из концентрических круговых петель, имеющих разные радиусы, варьирующие от $a$ до $b$. Поэтому полная магнитная индукция в центре,
$B_{0} = \int \frac{ \mu_{0} }{2 r} dN$ (1)
где $\frac{ \mu_{0} }{2r} i$ - вклад одного витка радиуса $r$ а $dN$ - число витков в интервал $(r, r + dr)$
то есть $dN = \frac{N}{b - a} dr$
Подставляя в уравнение (1) и интегрируя результат по $r$ между $a$ и $b$, получаем:
$B_{0} = \int_{a}^{b} \frac{ \mu_{0} i }{2r} \frac{N}{(b - a)}dr = \frac{ \mu iN}{2(b - a)} ln \frac{b}{a}$
(б) Магнитный момент витка радиуса $r$ равен $p_{m} = i \pi r^{2}$ и всех витков,
$p = \int p_{m} dN = \int_{a}^{b} i \pi r^{2} \frac{N}{b - a} dr = \frac{ \pi i N (b^{3 } - a^{2} ) }{3(b - a)}$
