Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 7536
2018-05-14 
Очень длинный прямой соленоид имеет радиус сечения $R$ и $n$ витков на единицу длины. По соленоиду течет постоянный ток $I$. Пусть $x$ — расстояние, отсчитываемое вдоль оси соленоида от его торца. Найти:
а) индукцию магнитного поля на оси как функцию $x$; изобразить примерный график зависимости индукции $B$ от отношения $x/R$;
б) расстояние $x_{0}$ до точки на оси, в которой индукция поля отличается от индукции в глубине соленоида на $\eta = 1$%.
Решение:
Мы делаем то же, что и в задаче 7535. Тогда (а) магнитная индукция по оси на расстоянии $x$ от одного конца очевидно,
$B = \frac{ \mu_{0} nI }{4 \pi} 2 \pi R^{2} \int_{0}^{ \infty} \frac{dz}{[R^{2} + (z -x )^{2} ]^{3/2} } = \frac{1}{2} \mu_{0}nIR^{2} \int_{x}^{ \infty} \frac{dz}{(z^{2} + R^{2} )^{3/2}} = \frac{1}{2} \mu_{0} nI \int_{ tg^{-1} \frac{x}{R} }^{ \pi /2} \cos \theta d \theta = \frac{1}{2} \mu_{0} nI \left ( 1 - \frac{x}{ \sqrt{x^{2} + R^{2} } } \right )$
$x > 0$, означает что поле находится вне соленоида. $B$ тогда падает с $x. x < 0$ означает, что точка поля становится все больше внутри соленоида. $B$ затем возрастает с $(x)$ и в конечном итоге становится постоянным, равным $\mu_{0} nI$. График $B - x$.
(б) Имеем, $\frac{B_{0} - \delta B }{B_{0} } = \frac{1}{2} \left [ 1 - \frac{x_{0} }{ \sqrt{R^{2} + x_{0}^{2} } } \right ] = 1- \eta$
или, $- \frac{x_{0} }{ \sqrt{R^{2} + x_{0}^{2} } } = 1 - 2 \eta$
Так как $\eta$ мало ($\approx 1$%), то $x_{0}$ должно быть отрицательным. Таким образом, $x_{0} = - | x_{0} |$
а также $\frac{|x|}{ \sqrt{R^{2} + |x_{0} |^{2} } } = 1 - 2 \eta$
$|x_{0} |^{2} = (1 - 4 \eta + 4 \eta^{2} )(R^{2} + |x_{0} |^{2} )$
$0 = (1 - 2 \eta)^{2}R^{2} - 4 \eta (1 - \eta)|x_{0} |^{2}$
или, $|x_{0} | = \frac{(1 - 2 \eta)R}{2 \sqrt{ \eta (1 - \eta) } }$
Очень длинный прямой соленоид имеет радиус сечения $R$ и $n$ витков на единицу длины. По соленоиду течет постоянный ток $I$. Пусть $x$ — расстояние, отсчитываемое вдоль оси соленоида от его торца. Найти:
а) индукцию магнитного поля на оси как функцию $x$; изобразить примерный график зависимости индукции $B$ от отношения $x/R$;
б) расстояние $x_{0}$ до точки на оси, в которой индукция поля отличается от индукции в глубине соленоида на $\eta = 1$%.
Решение:
Мы делаем то же, что и в задаче 7535. Тогда (а) магнитная индукция по оси на расстоянии $x$ от одного конца очевидно,
$B = \frac{ \mu_{0} nI }{4 \pi} 2 \pi R^{2} \int_{0}^{ \infty} \frac{dz}{[R^{2} + (z -x )^{2} ]^{3/2} } = \frac{1}{2} \mu_{0}nIR^{2} \int_{x}^{ \infty} \frac{dz}{(z^{2} + R^{2} )^{3/2}} = \frac{1}{2} \mu_{0} nI \int_{ tg^{-1} \frac{x}{R} }^{ \pi /2} \cos \theta d \theta = \frac{1}{2} \mu_{0} nI \left ( 1 - \frac{x}{ \sqrt{x^{2} + R^{2} } } \right )$
$x > 0$, означает что поле находится вне соленоида. $B$ тогда падает с $x. x < 0$ означает, что точка поля становится все больше внутри соленоида. $B$ затем возрастает с $(x)$ и в конечном итоге становится постоянным, равным $\mu_{0} nI$. График $B - x$.
(б) Имеем, $\frac{B_{0} - \delta B }{B_{0} } = \frac{1}{2} \left [ 1 - \frac{x_{0} }{ \sqrt{R^{2} + x_{0}^{2} } } \right ] = 1- \eta$
или, $- \frac{x_{0} }{ \sqrt{R^{2} + x_{0}^{2} } } = 1 - 2 \eta$
Так как $\eta$ мало ($\approx 1$%), то $x_{0}$ должно быть отрицательным. Таким образом, $x_{0} = - | x_{0} |$
а также $\frac{|x|}{ \sqrt{R^{2} + |x_{0} |^{2} } } = 1 - 2 \eta$
$|x_{0} |^{2} = (1 - 4 \eta + 4 \eta^{2} )(R^{2} + |x_{0} |^{2} )$
$0 = (1 - 2 \eta)^{2}R^{2} - 4 \eta (1 - \eta)|x_{0} |^{2}$
или, $|x_{0} | = \frac{(1 - 2 \eta)R}{2 \sqrt{ \eta (1 - \eta) } }$
