ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-05-14   
Однослойная катушка (соленоид) имеет длину $l$ и радиус сечения $R$. Число витков на единицу длины $n$. Найти индукцию магнитного поля в центре катушки при пропускании через нее тока $I$.


Решение:


На поверхности соленоида плотность поверхностного тока

$\vec{j}_{s} = n I \hat{e}_{ \phi}$

Тогда $\vec{B} = - \frac{ \mu_{0} }{4 \pi} nI \int R d \phi dz \frac{ \hat{e}_{ \phi} \times r_{0} }{r_{0}^{3} }$

где $\vec{r}_{0}$ - вектор от текущего элемента к точке поля, который является центром соленоида,

Тогда, $- \hat{e}_{ \phi} \times \vec{r}_{0} = R \hat{e}_{z}$
$r_{0} = \sqrt{z^{2} R^{2} }$

Таким образом, $B = B_{z} = \frac{ \mu_{0}nI }{4 \pi} 2 \pi R^{2} \int_{-l/2}^{l/2} \frac{dz}{ (R^{2} + z^{2} )^{3/2} } = \frac{1}{2} \mu_{0} nI \int_{ - tg^{-1} \frac{l}{2R} }^{ + tg^{-1} \frac{l}{2R} } \cos \alpha d \alpha $ (подставив $z = R tg \alpha$)

$= \mu_{0} nI \sin \alpha = \mu_{0} nI \frac{l/2}{ \sqrt{ (l/3)^{2} + R^{2} } } = \frac{ \mu_{0} nI }{ \sqrt{ 1 + \left ( \frac{2R}{l} \right )^{2} } }$