Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 7531
2018-05-14 
Имеется круговой виток с током $I$. Найти интеграл $\int \vec{B} d \vec{r}$ вдоль оси витка в пределах от $ - \infty$ до $+ \infty$. Объяснить полученный результат.
Решение:
На оси, $B = \frac{ \mu_{0}IR^{2} }{ 2(x^{2} + R^{2} )^{3/2} } = B_{x}$, вдоль оси.
Таким образом, $\int \vec{B} \cdot d \vec{r} = \int_{ - \infty}^{ \infty} B_{x}dx = \frac{ \mu_{0} IR^{2} }{2} \int_{ - \infty}^{ \infty} \frac{dx}{(R^{2} + x^{2} )^{3/2} } = \frac{ \mu_{0} IR^{2} }{2} \int_{ - \pi /2}^{ \pi /2} \frac{R \sec^{2} \theta d \theta}{R^{3} sec^{3} \theta }$, при подстановке $x = R tg \theta$
$= \mu_{0}I \frac{1}{2} \int_{ - \pi/2}^{ \pi /2} \cos \theta d \theta = \mu_{0}I$
Физическая интерпретация этого результата состоит в том, что $\int_{ - \infty }^{ \infty} B_{x} dx$ можно рассматривать как циркуляцию $B$ по замкнутой петле у которой два конца связаны бесконечной линией (например, полукруг бесконечного радиуса).
Имеется круговой виток с током $I$. Найти интеграл $\int \vec{B} d \vec{r}$ вдоль оси витка в пределах от $ - \infty$ до $+ \infty$. Объяснить полученный результат.
Решение:
На оси, $B = \frac{ \mu_{0}IR^{2} }{ 2(x^{2} + R^{2} )^{3/2} } = B_{x}$, вдоль оси.
Таким образом, $\int \vec{B} \cdot d \vec{r} = \int_{ - \infty}^{ \infty} B_{x}dx = \frac{ \mu_{0} IR^{2} }{2} \int_{ - \infty}^{ \infty} \frac{dx}{(R^{2} + x^{2} )^{3/2} } = \frac{ \mu_{0} IR^{2} }{2} \int_{ - \pi /2}^{ \pi /2} \frac{R \sec^{2} \theta d \theta}{R^{3} sec^{3} \theta }$, при подстановке $x = R tg \theta$
$= \mu_{0}I \frac{1}{2} \int_{ - \pi/2}^{ \pi /2} \cos \theta d \theta = \mu_{0}I$
Физическая интерпретация этого результата состоит в том, что $\int_{ - \infty }^{ \infty} B_{x} dx$ можно рассматривать как циркуляцию $B$ по замкнутой петле у которой два конца связаны бесконечной линией (например, полукруг бесконечного радиуса).
