2018-05-14
Ток $I$ течет по тонкому проводнику, который имеет вид правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса $R$. Найти магнитную индукцию в центре данного контура. Исследовать полученное выражение при $n \rightarrow \infty$.
Решение:
Поскольку $\angle AOB = \frac{2 \pi}{n}$, OC - высота любого сегмента равная $R \cos \frac{ \pi}{n}$. Тогда магнитная индукция в O, благодаря элементу AB
$= \frac{ \mu_{0} }{4 \pi} \frac{i}{R \cos \frac{ \pi}{n} } 2 \sin \frac{ \pi}{n}$
(Из закона Био-Саввара магнитное поле в О от любого сечения, такого как АС, перпендикулярно плоскости фигуры и имеет величину.)
$B = \int \frac{ \mu_{0} }{4 \pi} i \frac{dx}{r^{2} } \cos \theta = \int_{ - \frac{ \pi}{ n} }^{ \frac{ \pi}{n} } \frac{ \mu_{0} i }{4 \pi} \frac{R \cos \frac{ \pi}{n} sec^{2} \theta d \theta }{R^{2} \cos \frac{2 \pi}{n} \sec^{2} \theta } \cos \theta = \frac{ \mu_{0}i }{4 \pi} \frac{1}{R \cos \frac{ \pi}{n} } 2 \sin \frac{ \pi}{n}$
Поскольку $n$ - число сторон и магнитные индукционные векторы, от каждой стороны в О, равны по величине и направлению. Тогда,
$B_{0} = \frac{ \mu_{0} }{4 \pi} \frac{ni}{R \cos \frac{ \pi}{n} } 2 \sin \frac{ \pi}{n} \cdot n = \frac{ \mu_{0} }{2 \pi} \frac{ni}{R} tg \frac{ \pi}{n}$ для $n \rightarrow 0$
$B_{0} = \frac{ \mu_{0} }{2} \frac{i}{R} Lt_{n \rightarrow \infty} \left ( \frac{tg \frac{ \pi}{n} }{ \frac{ \pi}{n} } \right ) = \frac{ \mu_{0} }{2} \frac{i}{R}$.