ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-05-14   
По круговому витку радиуса $R = 100 мм$ из тонкого провода циркулирует ток $I = 1,00 А$. Найти магнитную индукцию:
а) в центре витка;
б) на оси витка в точке, отстоящей от его центра на $x = 100 мм$.


Решение:



(a) Из закона Био-Савара,

$d \vec{B} = \frac{ \mu_{0} }{4 \pi} i \frac{ d \vec{l} \times \vec{r} }{r^{3} }$, Итак,

$dB = \frac{ \mu_{0} }{4 \pi} i \frac{(R d \theta) R }{R^{3} }$ ( $d \vec{l} \perp \vec{r}$)

Из симметрии $B = \int dB = \int_{0}^{ 2 \pi} \frac{ \mu_{0} }{4 \pi} \frac{i}{R} d \theta = \frac{ \mu_{0} }{2} \frac{i}{R} = 6,3 мкТ$

(б) Из закона Био-Савара,

$\vec{B} = \frac{ \mu_{0} }{4 \pi } i \int \frac{ d \vec{l} \times \vec{r} }{r^{3} }$ ( $ \vec{r} = \vec{R} + \vec{x} $ )

Тогда, $\vec{ B} = \frac{ \mu_{0} }{4 \pi} i \left [ \oint d \vec{l} \times \vec{R} + \oint d \vec{l} \times \vec{x} \right ]$

Поскольку $\vec{x}$ - постоянный вектор и $| \vec{R} |$ - тоже постоянна

То, $\oint d \vec{l} \times \vec{x} = \left ( \oint d \vec{l} \right ) \times \vec{x} = 0$ (так как $ \oint d \vec{l} = 0 $ )

и $\oint d \vec{r} \times \vec{R} = \oint Rdl \vec{n} = \vec{n} R \oint dl = 2\ pi R^{2} \vec{n}$

Здесь $\vec{n}$ - единичный вектор, перпендикулярный плоскости, содержащей петлю тока (рис.) И в направлении вектора $\vec{x}$

Таким образом, получаем $\vec{B} = \frac{ \mu_{0} }{4 \pi} \frac{2 \pi R^{2}i}{ (x^{2} + R^{2} )^{3/2} } \vec{n}$