ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-05-14   
Две большие параллельные пластины находятся в вакууме. Одна из пластин служит катодом — источником электронов, начальная скорость которых пренебрежимо мала. Электронный поток, направленный к противоположной пластине, создает в пространстве объемный заряд, вследствие чего потенциал в зазоре между пластинами меняется по закону $\phi = ax^{4}$, где $a$ — положительная постоянная, $x$ — расстояние от катода. Найти:
а) объемную плотность пространственного заряда в зависимости от $x$;
б) плотность тока.


Решение:


Между пластинами $\phi = ax^{4/3}$

или, $\frac{ \partial \phi}{ \partial x} = a \frac{4}{3} x^{l/3}$

$\frac{ \partial^{2} \phi }{ \partial x^{2} } = \frac{4}{9} ax^{-2/3} = - \rho / \epsilon_{0}$

или, $\rho = - \frac{4 \epsilon_{0} a }{9} x^{-2/3}$

Пусть заряд на электроне - $e$,

тогда $\frac{1}{2}mv^{2} - e \phi = const = 0$,

поскольку электрон изначально излучается с незначительной энергией.

$v^{2} = \frac{2e \phi }{m}, v = \sqrt{ \frac{2 e \phi}{m} }$

Тогда, $j = - \rho v = \frac{4 \epsilon_{0}a }{9} \sqrt{ \frac{2 \phi}{m} } x^{-2/3}$.

($j$ измеряется от анода до катода, поэтому знак минус).