ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-05-14   
Однородный пучок протонов, ускоренных разностью потенциалов $U = 600 кВ$, имеет круглое сечение радиуса $r = 5,0 мм$. Найти напряженность электрического поля на поверхности пучка и разность потенциалов между поверхностью и осью пучка при токе $I = 50 мА$.


Решение:


По теореме Гаусса теорема напряженность поля на поверхности цилиндрической формы равна, $\frac{ \lambda}{2 \pi \epsilon_{0} r }$, где $\lambda$ - линейная плотность заряда.

Тогда, $eV = \frac{1}{2} m_{e}v^{2}$ или, $v = \sqrt{ \frac{2eV}{m_{e} } }$ (1)

Также, $dq = \lambda dx$ следовательно, $\frac{dq}{dt} = \lambda \frac{dx}{dt}$

или, $I = \lambda v$ или, $\lambda = \frac{I}{v} = \frac{I}{ \sqrt{ \frac{2eV}{m_{e} } } }$, используя (1)

следовательно $E = \frac{I}{2 \pi \epsilon_{0} r } \sqrt{ \frac{m_{e} }{2eV } } = 32 В/м$

(б) В этой точке внутри твердого заряженного цилиндра, применяя теорему Гаусса,

$2 \pi rg E = \pi r^{2}h \frac{q}{ \epsilon_{0} \pi R^{2}l }$

или, $E = \frac{q/l}{2 \pi \epsilon_{0}R^{2} } r = \frac{ \lambda r}{2 \pi \epsilon_{0} R^{2} }$

Таким образом, из $E = - \frac{d \phi}{dr}$,

$\int_{ \phi_{1} }^{ \phi_{2} } - d \phi = \int_{0}^{R} \frac{ \lambda}{2 \pi \epsilon_{0}R^{2} } rddr$

или, $\phi_{1} - \phi_{2} = \frac{ \lambda}{2 \pi \epsilon_{0} R^{2} } \left [ \frac{r^{2} }{2} \right ]_{0}^{R} = \frac{ \lambda}{4 \pi \epsilon_{0} }$

Следовательно, $\phi_{1} - \phi_{2} = \frac{VI}{4 \pi \epsilon_{0} } \sqrt{ \frac{m_{e} }{2eV} } = 0,80 В$