ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-05-14   
Обкладкам конденсатора емкости $C = 2,00 мкФ$ сообщили разноименные заряды $q_{0} = 1,00 мКл$. Затем обкладки замкнули через сопротивление $R = 5,0 МОм$. Найти:
а) заряд, прошедший через это сопротивление за $\tau = 2,00 с$;
б) количество тепла, выделившееся в сопротивлении за то же время.


Решение:



(а) Пусть в любой момент времени заряд на пластинах равен $(q_{0} - q)$, тогда ток через резистор, $i = - \frac{d(q_{0} - q ) }{dt}$, потому что конденсатор разряжается.

или, $i = \frac{dq}{dt}$

Тогда

$iR - \frac{q_{0} - q }{C} = 0$

или, $\frac{dq}{dt}R = \frac{q_{0} - q }{C}$

или, $\frac{dq}{q_{0} - q } = \frac{1}{RC} dt$

При $t = 0, q = 0$ и $r = \tau, q = q_{0}$

Тогда, $ln \frac{q_{0} - q }{q_{0} } = \frac{ - \tau}{RC}$

Таким образом, $q = q_{0} (1 - e^{ - \tau /RC} ) = 0,18 мК$

(б) Количество выделяемого тепла = уменьшение энергии емкости

$= \frac{1}{2} \frac{q_{0}^{2} }{C} - \frac{1}{2} \frac{[ q_{0} - q_{0} (1 - e^{ - \tau / RC } ) ]^{2} }{C} = \frac{1}{2} \frac{q_{0}^{2} }{C} \left [ 1 - e^{ - \frac{2 \tau}{RC} } \right ] = 82 мДж $