Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 7502
2018-05-14 
Радиусы обкладок сферического конденсатора равны $a$ и $b$, причем $a < b$. Пространство между обкладками заполнено однородным веществом с диэлектрической проницаемостью $\epsilon$ и удельным сопротивлением $\rho$. Первоначально конденсатор не заряжен. В момент $t = 0$ внутренней обкладке сообщили заряд $q_{0}$. Найти:
а) закон изменения во времени заряда на внутренней обкладке;
б) количество тепла, выделившегося при растекании заряда.
Решение:
(а) Мысленно изолируем тонкий сферический слой с внутренним и внешним радиусами $r$ и $r + dr$ соответственно. Линии тока во всех точках этого слоя перпендикулярны ему, и поэтому такой слой можно рассматривать как сферический проводник толщины $dr$ и площадью сечения $4 \pi r^{2}$. Мы знаем, что сопротивление,
$dR = \rho \frac{dr}{S(r) } = \rho \frac{dr}{2 \pi r^{2} }$ (1)
Интегрируя выражение (1) в пределах,
$\int_{0}^{R} dR = \int_{a}^{b} \rho \frac{dr}{4 \pi r^{2} }$ или, $R = \frac{ \rho}{ 2 \pi} \left [ \frac{1}{a} - \frac{1}{b} \right ]$ (2)
Емкость системы, $C = \frac{2 \pi \epsilon \epsilon}{ \left [ \frac{1}{a} - \frac{1}{b} \right ] }$ (3)
и $q = C \phi$ (где $q$ - заряд это любой произвольный момент) (4)
также, $\phi = \left ( \frac{-dq}{dt} \right )R$, поскольку конденсатор разряжается. (5)
Из уравнений (2), (3), (4) и (5) получаем,
$q = \frac{4 \pi \epsilon_{0} \epsilon }{ \left [ \frac{1}{a} - \frac{1}{b} \right ] } \frac{ \left [ - \frac{dq}{dt} \right ] \rho \left [ \frac{1}{a} - \frac{1}{b} \right ] }{4 \pi}$ или, $ \frac{dq}{q} = \frac{dt}{ \rho \epsilon \epsilon_{0} } $
Интегрируя $\int_{q_{0} }^{q} - \frac{dq}{q} = \frac{1}{ \rho \epsilon_{0} \epsilon } \int_{0}^{t} dt = \frac{dt}{ \rho \epsilon \epsilon_{0} }$
Следовательно, $q = q_{0} e^{ \frac{-t}{ \rho \epsilon \epsilon_{0} } }$
(б) Энергии, выделяющейся при нагревании, при протекании заряда
$H = U_{нач} - U_{кон}$ [потому что $A_{ист} = 0$]
$ = \frac{1}{2} \frac{q_{0} }{4 \pi \epsilon_{0} \epsilon } \left [ \frac{1}{a} - \frac{1}{b} \right ] - 0 = \frac{q_{0}^{2} }{8 \pi \epsilon_{0} \epsilon } \frac{b - a}{ab}$
Радиусы обкладок сферического конденсатора равны $a$ и $b$, причем $a < b$. Пространство между обкладками заполнено однородным веществом с диэлектрической проницаемостью $\epsilon$ и удельным сопротивлением $\rho$. Первоначально конденсатор не заряжен. В момент $t = 0$ внутренней обкладке сообщили заряд $q_{0}$. Найти:
а) закон изменения во времени заряда на внутренней обкладке;
б) количество тепла, выделившегося при растекании заряда.
Решение:
(а) Мысленно изолируем тонкий сферический слой с внутренним и внешним радиусами $r$ и $r + dr$ соответственно. Линии тока во всех точках этого слоя перпендикулярны ему, и поэтому такой слой можно рассматривать как сферический проводник толщины $dr$ и площадью сечения $4 \pi r^{2}$. Мы знаем, что сопротивление,
$dR = \rho \frac{dr}{S(r) } = \rho \frac{dr}{2 \pi r^{2} }$ (1)
Интегрируя выражение (1) в пределах,
$\int_{0}^{R} dR = \int_{a}^{b} \rho \frac{dr}{4 \pi r^{2} }$ или, $R = \frac{ \rho}{ 2 \pi} \left [ \frac{1}{a} - \frac{1}{b} \right ]$ (2)
Емкость системы, $C = \frac{2 \pi \epsilon \epsilon}{ \left [ \frac{1}{a} - \frac{1}{b} \right ] }$ (3)
и $q = C \phi$ (где $q$ - заряд это любой произвольный момент) (4)
также, $\phi = \left ( \frac{-dq}{dt} \right )R$, поскольку конденсатор разряжается. (5)
Из уравнений (2), (3), (4) и (5) получаем,
$q = \frac{4 \pi \epsilon_{0} \epsilon }{ \left [ \frac{1}{a} - \frac{1}{b} \right ] } \frac{ \left [ - \frac{dq}{dt} \right ] \rho \left [ \frac{1}{a} - \frac{1}{b} \right ] }{4 \pi}$ или, $ \frac{dq}{q} = \frac{dt}{ \rho \epsilon \epsilon_{0} } $
Интегрируя $\int_{q_{0} }^{q} - \frac{dq}{q} = \frac{1}{ \rho \epsilon_{0} \epsilon } \int_{0}^{t} dt = \frac{dt}{ \rho \epsilon \epsilon_{0} }$
Следовательно, $q = q_{0} e^{ \frac{-t}{ \rho \epsilon \epsilon_{0} } }$
(б) Энергии, выделяющейся при нагревании, при протекании заряда
$H = U_{нач} - U_{кон}$ [потому что $A_{ист} = 0$]
$ = \frac{1}{2} \frac{q_{0} }{4 \pi \epsilon_{0} \epsilon } \left [ \frac{1}{a} - \frac{1}{b} \right ] - 0 = \frac{q_{0}^{2} }{8 \pi \epsilon_{0} \epsilon } \frac{b - a}{ab}$
