Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 7501
2018-05-14 
Цилиндрический конденсатор, подключенный к источнику постоянного напряжения $U$, упирается своим торцом в поверхность воды (рис.). Расстояние $d$ между обкладками конденсатора значительно меньше их среднего радиуса. Найти высоту $h$, на которой установится уровень воды между обкладками конденсатора. Капиллярными явлениями пренебречь.
Решение:
Если $C_{0}$ - начальная емкость конденсатора до того, как его поместили в воду, тогда
$U_{нач} = \frac{1}{2} C_{0}V^{2}$, где $C_{0} = \frac{ \epsilon_{0} 2l \pi R }{d}$
($R$ - радиус, а $l$ - длина пластин конденсатора).
Предположим, что жидкость поднимается до высоты $h$. Тогда емкость конденсатора равна
$C = \frac{ \epsilon \epsilon_{0} h 2 \pi R }{d} + \frac{ \epsilon (l - h) 2 \pi R }{d} = \frac{ \epsilon_{0} 2 \pi R }{d} (l + ( \epsilon - 1)h )$
и энергия конденсатора и жидкости (включая как гравитационные, так и электростатические вклады)
$\frac{1}{2} \frac{ \epsilon_{0}2 \pi R }{d} (l + ( \epsilon - 1)h )V^{2} + \rho g(2 \pi R hd) \frac{h}{2} $
Если бы конденсатор не был бы подключен к батарее, эту энергию нужно было бы минимизировать. Но конденсатор подключен к батарее и, по сути, потенциальная энергия всей системы должна быть минимизирована. Предположим, что мы увеличиваем $h$ на $\delta h$. Тогда энергия конденсатора и жидкости увеличивается на
$\delta h \left ( \frac{ \epsilon_{0} 2 \pi R }{2d} ( \epsilon - 1)V^{2} + \rho g (2 \pi R d)h \right )$
а уменьшается на величину $A_{ист}$ являющуюся произведением протекшего заряда и $V$
$\delta h \frac{ \epsilon_{0}( 2 \pi R) }{d} ( \epsilon - 1)V^{2}$
В равновесии они должны быть в балансе;
$\rho gdh = \frac{ \epsilon_{0} ( \epsilon - 1)V^{2} }{2d}$
следовательно $h = \frac{ \epsilon_{0} ( \epsilon - 1)V^{2} }{2 \rho gd^{2} }$
Цилиндрический конденсатор, подключенный к источнику постоянного напряжения $U$, упирается своим торцом в поверхность воды (рис.). Расстояние $d$ между обкладками конденсатора значительно меньше их среднего радиуса. Найти высоту $h$, на которой установится уровень воды между обкладками конденсатора. Капиллярными явлениями пренебречь.
Решение:
Если $C_{0}$ - начальная емкость конденсатора до того, как его поместили в воду, тогда
$U_{нач} = \frac{1}{2} C_{0}V^{2}$, где $C_{0} = \frac{ \epsilon_{0} 2l \pi R }{d}$
($R$ - радиус, а $l$ - длина пластин конденсатора).
Предположим, что жидкость поднимается до высоты $h$. Тогда емкость конденсатора равна
$C = \frac{ \epsilon \epsilon_{0} h 2 \pi R }{d} + \frac{ \epsilon (l - h) 2 \pi R }{d} = \frac{ \epsilon_{0} 2 \pi R }{d} (l + ( \epsilon - 1)h )$
и энергия конденсатора и жидкости (включая как гравитационные, так и электростатические вклады)
$\frac{1}{2} \frac{ \epsilon_{0}2 \pi R }{d} (l + ( \epsilon - 1)h )V^{2} + \rho g(2 \pi R hd) \frac{h}{2} $
Если бы конденсатор не был бы подключен к батарее, эту энергию нужно было бы минимизировать. Но конденсатор подключен к батарее и, по сути, потенциальная энергия всей системы должна быть минимизирована. Предположим, что мы увеличиваем $h$ на $\delta h$. Тогда энергия конденсатора и жидкости увеличивается на
$\delta h \left ( \frac{ \epsilon_{0} 2 \pi R }{2d} ( \epsilon - 1)V^{2} + \rho g (2 \pi R d)h \right )$
а уменьшается на величину $A_{ист}$ являющуюся произведением протекшего заряда и $V$
$\delta h \frac{ \epsilon_{0}( 2 \pi R) }{d} ( \epsilon - 1)V^{2}$
В равновесии они должны быть в балансе;
$\rho gdh = \frac{ \epsilon_{0} ( \epsilon - 1)V^{2} }{2d}$
следовательно $h = \frac{ \epsilon_{0} ( \epsilon - 1)V^{2} }{2 \rho gd^{2} }$
