ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-05-14   
В схеме (рис.) заданы сопротивления $R_{1}$ и $R_{2}$, а также э. д. с. источников $\mathcal{E}_{1}$ и $\mathcal{E}_{2}$. Внутренние сопротивления источников пренебрежимо малы. При каком значении сопротивления $R$ выделяемая на нем тепловая мощность будет максимальной? Чему она равна?



Решение:



Укажем токи в цепи, как показано на рисунке.

В замкнутом цепи 12561, $- \Delta \phi = 0$ получаем

$i_{1}R - \mathcal{E}_{1} + iR_{1} = 0$ (1)

и в цепи 23452,

$(i - i_{1} )R_{2} + \mathcal{E}_{2} - i_{1}R = 0$ (2)

Решая (1) и (2), получаем,

$i_{1} = \frac{ \mathcal{E}_{1}R_{2} + \mathcal{E}_{2}R_{1} }{RR_{1} + R_{1}R_{2} + RR_{2} }$

Таким образом, тепловая мощность, генерируемая в сопротивлении $R$,

$P = i_{1}^{2}R = \left [ \frac{ \mathcal{E}_{1}R_{2} + \mathcal{E}_{2}R_{1} }{RR_{1} + R_{1}R_{2} + RR_{2} } \right ]^{2}R$

Для того чтобы $P$ был максимальным, $\frac{dP}{dR} = 0$,

$R = \frac{R_{1}R_{2} }{R_{1} + R_{2} }$

Следовательно, $P_{max} = \frac{ ( \mathcal{E}_{1}R_{1} + \mathcal{E}_{2}R_{1} )^{2} }{4R_{1}R_{2}(R_{1} + R_{2} ) }$