Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 7494
2018-05-14 
Имеется проводник, у которого известны сопротивление $R$, не зависящее от температуры, и общая теплоемкость $C$. В момент $t = 0$ его подключили к постоянному напряжению $U$. Найти зависимость от времени температуры $T$ проводника, считая, что тепловая мощность, отдаваемая им в окружающее пространство $q = k(T - T_{0})$, где $k$ — постоянная, $T_{0}$ — температура окружающей среды (она же и температура проводника в начальный момент).
Решение:
Уравнение теплового баланса
$\frac{V^{2}}{R} - k(T - T_{0} ) = C \frac{dT}{dt}$
Положим $T - T_{0} = \mathcal{E}$
Тогда, $C \mathcal{E} + k \mathcal{E} = \frac{V^{2}}{R}$ или, $\mathcal{E} + \frac{k}{C} \mathcal{E} = \frac{V^{2} }{CR}$
или, $\frac{d}{dt} ( \mathcal{E} e^{kt/c} ) = \frac{ V^{2} }{CR} e^{kt/c }$
или, $\mathcal{E} e^{kt/c} = \frac{V^{2} }{kR} e^{kt/c} + A$
где $A$ - постоянная. очевидно
$\mathcal{E} = 0$ при $t = 0$, поэтому $A = - \frac{V^{2} }{kR}$ и, следовательно,
$T = T_{0} + \frac{ V^{2} }{kR} ( 1 - e^{-kt/C} )$
Имеется проводник, у которого известны сопротивление $R$, не зависящее от температуры, и общая теплоемкость $C$. В момент $t = 0$ его подключили к постоянному напряжению $U$. Найти зависимость от времени температуры $T$ проводника, считая, что тепловая мощность, отдаваемая им в окружающее пространство $q = k(T - T_{0})$, где $k$ — постоянная, $T_{0}$ — температура окружающей среды (она же и температура проводника в начальный момент).
Решение:
Уравнение теплового баланса
$\frac{V^{2}}{R} - k(T - T_{0} ) = C \frac{dT}{dt}$
Положим $T - T_{0} = \mathcal{E}$
Тогда, $C \mathcal{E} + k \mathcal{E} = \frac{V^{2}}{R}$ или, $\mathcal{E} + \frac{k}{C} \mathcal{E} = \frac{V^{2} }{CR}$
или, $\frac{d}{dt} ( \mathcal{E} e^{kt/c} ) = \frac{ V^{2} }{CR} e^{kt/c }$
или, $\mathcal{E} e^{kt/c} = \frac{V^{2} }{kR} e^{kt/c} + A$
где $A$ - постоянная. очевидно
$\mathcal{E} = 0$ при $t = 0$, поэтому $A = - \frac{V^{2} }{kR}$ и, следовательно,
$T = T_{0} + \frac{ V^{2} }{kR} ( 1 - e^{-kt/C} )$
