ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-05-14   
Сколько тепла выделится в спирали сопротивлением $R$ при прохождении через нее количества электричества $q$, если ток в спирали:
а) равномерно убывал до нуля в течение времени $\Delta t$;
б) монотонно убывал до нуля так, что за каждые $\Delta t$ секунд он уменьшался вдвое?


Решение:


(a) Поскольку ток $i$ является линейной функцией времени, а при $t =0$ и $\Delta t$ он равен $i_{0}$ и нулю соответственно, он может быть представлен как,

$i = i_{0} \left ( 1 - \frac{t}{ \Delta t} \right )$

Таким образом $q = \int_{0}^{ \Delta t} idt = \int_{0}^{ \Delta t} i_{0} \left ( 1 - \frac{t}{ \Delta t} \right ) dt = \frac{i_{0} \Delta t }{2}$

Так как, $i_{0} = \frac{2q}{ \Delta t}$

Следовательно, $i = \frac{2q}{ \Delta t} \left ( 1- \frac{t}{ \Delta t} \right )$

Выделенное тепло.

$H = \int_{0}^{ \Delta t} i^{2}R dt = \int_{0}^{ \Delta t} \left [ \frac{2q}{ \Delta t} \left ( 1 - \frac{t}{ \Delta t} \right ) \right ]^{2} Rdt = \frac{4q^{2}R }{3 \Delta t}$

(б) Очевидно, ток через катушку определяется

$i = i_{0} \left ( \frac{1}{2} \right )^{t/ \Delta t}$

Тогда заряд $q = \int_{0}^{ \infty} idt = \int_{0}^{ \infty} i_{0} 2^{ - t / \Delta t} dt = \frac{i_{0} \Delta t }{ln2}$

Отсюда, $i_{0} = \frac{q ln 2}{ \Delta t}$

И, следовательно, тепло, генерируемое в цепи в интервале времени $t [0, \infty]$

$H = \int_{0}^{ \infty} i^{2} R dt = \int_{0}^{ \infty} \left [ \frac{q ln 2 }{ \Delta 2} 2^{ - t/ \Delta t } \right ]^{2} Rdt = - \frac{q^{2} ln 2 }{2 \Delta t}R$