ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-05-14   
Найти зависимость от времени $t$ напряжения на конденсаторе $C$ (рис.) после замыкания в момент $t = 0$ ключа К.



Решение:



Пусть в любой момент времени заряд на пластинах равен $+ q$ и $-q$ соответственно, тогда напряжение на конденсаторе $\phi = q / C$ (1)

Тогда $i = i_{1} + i_{2}$, где $i_{2} = \frac{dq}{dt}$ (2)

В цепи 65146, используя $- \Delta \phi = 0$.

$\frac{q}{C} + \left ( i_{1} + \frac{dq}{dt} \right ) R - \mathcal{E} = 0$ (3)

[используя (1) и (2)]
В цепи 25632, используя $- \Delta \phi = 0$

$- \frac{q}{C} + i_{1}R = 0$ или $i_{1}R = \frac{q}{C}$ (4)

Из (1) и (2),

$\frac{dq}{dt} R = \mathcal{E}_{1} - \frac{2q}{C}$ или, $\frac{dq}{ \mathcal{E} - \frac{2q}{C} } = \frac{dt}{R}$ (5)

При интегрировании выражения (5) между подходящими пределами,

$\int_{0}^{q} \frac{dq}{ \mathcal{E} - \frac{2q}{C} } = \frac{1}{R} \int_{0}^{t}dt$ или, $- \frac{C}{2} ln \frac{ \mathcal{E} - \frac{2q}{C} }{ \mathcal{E} } = \frac{t}{R}$

Таким образом $\frac{q}{C} = V = \frac{1}{2} \mathcal{E} (1 - e^{ - 2t/RC} )$