ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-05-14   
Цепь состоит из источника постоянной э. д. с. $\mathcal{E}$ и последовательно подключенных к нему сопротивления $R$ и конденсатора емкости $C$. Внутреннее сопротивление источника пренебрежимо мало. В момент $t = 0$ емкость конденсатора быстро (скачком) уменьшили в $\eta$ раз. Найти ток в цепи как функцию времени $t$.


Решение:



Пусть $q$ - заряд в момент времени $t$. Первоначально $q = C \mathcal{E}$ при $t = 0$. Тогда в момент времени $t$,

$\frac{ \eta q}{C} - iR - \mathcal{E} = 0$

Но, $i = - \frac{dq}{dt}$ (знак минус, потому что заряд уменьшается)

Итак $\frac{ \eta q}{C} + R \frac{dq}{dt} = \mathcal{E}$

$\frac{dq}{dt} + \frac{ \eta}{RC} q = \frac{ \mathcal{E} }{R}$

или, $\frac{d}{dt} qe^{t \eta/RC} = \frac{ \mathcal{E}}{R} e^{ t \eta / RC}$

или, $q = \frac{C \eta}{ \eta} + A e^{ - t \eta/ RC}$

$A = C \eta \left ( 1 - \frac{1}{ \eta} \right )$, из $q = C \mathcal{E}$ при $t = 0$

Следовательно, $q = C \mathcal{E} \left ( \frac{1}{ \eta} + \left ( 1 - \frac{1}{ \eta} \right ) e^{ - \eta t/ RC } \right )$

Окончательно, $i = - \frac{dq}{dt} = \frac{ \mathcal{E} ( \eta - 1)}{R} e^{ - t \eta / RC }$