Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 7468
2018-05-14 
Длинный проводник круглого сечения площади $S$ сделан из, материала, удельное сопротивление которого зависит только от расстояния $r$ до оси проводника по закону $\rho = \alpha /r^{2}$, где $\alpha$ — постоянная. Найти:
а) сопротивление единицы длины такого проводника;
б) напряженность электрического поля в проводнике, при которой по нему будет протекать ток $I$.
Решение:
(а) Рассмотрим цилиндр с единичной длиной и разделим его на оболочки радиуса $r$ и толщиной $dr$. Различные сечения параллельны. Для любого сечения,
$d \left ( \frac{1}{R_{1} } \right ) = \frac{2 \pi r dr}{( \alpha / r^{2} ) } = \frac{2 \pi r^{3} dr }{ \alpha}$
Интегрируя, $\frac{1}{R_{1} } = \frac{ \pi R^{4} }{ 2 \alpha} = \frac{S^{2} }{2 \pi \alpha}$
или, $R_{1} = \frac{2 \pi \alpha }{S^{2} }$, где $S = \pi R^{2}$
(б) Предположим, что электрическая область внутри $E_{z} = E_{0}$ (ось $Z$ - вдоль оси проводника). Это электрическое поле не может зависеть от $r$ в устойчивых условиях, когда другие компоненты $E$ отсутствуют, в противном случае нарушается теорема о циркуляции
$\oint \vec{E} \cdot d \vec{r} = 0$
Ток через участок между радиусами ($r + dr, r$) равен
$2 \pi r dr \frac{1}{ \alpha /r^{2} } E = 2 \pi r^{3} dr \frac{E}{ \alpha}$
Таким образом $I = \int_{0}^{R} 2\pi r^{3} dr \frac{E}{ \alpha} = \frac{ \pi R^{4}E }{2 \alpha}$
Следовательно $E = \frac{2 \alpha \pi I}{S^{2} }$, где $S = \pi R^{2}$
Длинный проводник круглого сечения площади $S$ сделан из, материала, удельное сопротивление которого зависит только от расстояния $r$ до оси проводника по закону $\rho = \alpha /r^{2}$, где $\alpha$ — постоянная. Найти:
а) сопротивление единицы длины такого проводника;
б) напряженность электрического поля в проводнике, при которой по нему будет протекать ток $I$.
Решение:
(а) Рассмотрим цилиндр с единичной длиной и разделим его на оболочки радиуса $r$ и толщиной $dr$. Различные сечения параллельны. Для любого сечения,
$d \left ( \frac{1}{R_{1} } \right ) = \frac{2 \pi r dr}{( \alpha / r^{2} ) } = \frac{2 \pi r^{3} dr }{ \alpha}$
Интегрируя, $\frac{1}{R_{1} } = \frac{ \pi R^{4} }{ 2 \alpha} = \frac{S^{2} }{2 \pi \alpha}$
или, $R_{1} = \frac{2 \pi \alpha }{S^{2} }$, где $S = \pi R^{2}$
(б) Предположим, что электрическая область внутри $E_{z} = E_{0}$ (ось $Z$ - вдоль оси проводника). Это электрическое поле не может зависеть от $r$ в устойчивых условиях, когда другие компоненты $E$ отсутствуют, в противном случае нарушается теорема о циркуляции
$\oint \vec{E} \cdot d \vec{r} = 0$
Ток через участок между радиусами ($r + dr, r$) равен
$2 \pi r dr \frac{1}{ \alpha /r^{2} } E = 2 \pi r^{3} dr \frac{E}{ \alpha}$
Таким образом $I = \int_{0}^{R} 2\pi r^{3} dr \frac{E}{ \alpha} = \frac{ \pi R^{4}E }{2 \alpha}$
Следовательно $E = \frac{2 \alpha \pi I}{S^{2} }$, где $S = \pi R^{2}$
