ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-05-14   
Металлический шарик радиуса $a$ находится на расстоянии $l$ от безграничной идеально проводящей плоскости. Пространство вокруг шарика заполнено однородной слабо проводящей средой с удельным сопротивлением $\rho$. Найти для случая $a \ll l$:
а) плотность тока у проводящей плоскости как функцию расстояния $r$ от шарика, если разность потенциалов между шариком и плоскость» равна $U$;
б) сопротивление среды между шариком и плоскостью.


Решение:



(a) Потенциал в незаштрихованной области данного заряда и его изображение имеет вид

$\phi = A \left ( \frac{1}{r_{1} } - \frac{1}{r_{2} } \right )$

где $r_{1}, r_{2}$ - расстояние точки от заряда и его изображения. Потенциал принят равным нулю на проводящей плоскости и на шаре

$\phi \approx A \left ( \frac{1}{a} - \frac{1}{2l} \right ) = V$

Итак, $A \approx Va$. При этом вычислении условия $a \ll l$ используются для игнорирования изменения $\phi$ над шаром.

Электрическое поле в точке P можно вычислить аналогичным образом. Заряд на шаре

$Q = 4 \pi \epsilon_{0}Va$

а также $E_{P} = \frac{Va}{r^{2} } 2 \cos \theta = \frac{2alV}{r^{3} }$

Тогда $j = \frac{1}{ \rho} R = \frac{2alV}{ \rho r^{3} }$ нормально к плоскости.

(б) Полный ток, протекающий в проводящую плоскость, равен

$I = \int_{0}^{ \infty} 2 \pi x dx j = \int_{0}^{ \infty} 2 \pi x dx \frac{2alV}{ \rho ( \pi^{2} + l^{2} )^{3/2} }$

(Положив $y = x^{2} + l^{2}$)

$I = \frac{2 \pi alV}{ \rho} \int_{l^{2} }^{ \infty} \frac{dy}{y^{3/2} } = \frac{4 \pi aV }{ \rho}$

Следовательно $R = \frac{V}{I} = \frac{ \rho}{2 \pi a}$