ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-05-14   
Пространство между двумя проводящими концентрическими сферами, радиусы которых $a$ и $b$ ($a < b$), заполнено однородной слабо проводящей средой. Емкость такой системы равна С. Найти удельное сопротивление среды, если разность потенциалов между сферами, отключенными от внешнего напряжения, уменьшается в $\eta$ раз за время $\Delta t$.


Решение:


В нашей системе сопротивление среды $R = \frac{ \rho}{4 \pi} \left [ \frac{1}{a } - \frac{1}{b} \right ]$ где $\rho$ - удельное сопротивление среды.

Ток $i = \frac{ \phi}{R} = \frac{ \phi}{ \frac{ \rho}{4 \pi} \left [ \frac{1}{a } - \frac{1}{b} \right ] }$

Также, $i = \frac{-dq}{dt} = - \frac{d(C \phi ) }{dt} = - C \frac{d \phi}{dt}$, так как емкость постоянна.

Итак, приравнивая (1) и (2), получим,

$\frac{ \phi}{ \frac{ \rho}{4 \pi} \left [ \frac{1}{a } - \frac{1}{b} \right ] } = - C \frac{ d \phi}{dt}$.

или, $- \int \frac{ d \phi}{ \phi} = \frac{ \Delta t}{ \frac{C \rho}{4 \pi} \left [ \frac{1}{a } - \frac{1}{b} \right ] }$

или, $ln \eta = \frac{ \Delta t4 \pi \Delta t ab}{C \rho (b - a)}$

Следовательно, удельное сопротивление среды,

$\rho = \frac{2 \pi \Delta t ab}{C(b - a)ln \eta}$