ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-05-14   
Плоский конденсатор расположен горизонтально так, что одна его пластина находится над поверхностью жидкости, другая — под поверхностью жидкости (рис.). Диэлектрическая проницаемость жидкости $\epsilon$, ее плотность $\rho$. На какую высоту поднимется уровень жидкости в конденсаторе после сообщения его пластинам заряда с поверхностной плотностью $\sigma$?



Решение:



Один из способов решения этой проблемы будет таким же, как и в случае задачи 7442, поэтому давайте попробуем альтернативный метод, основанный на энергии. Пусть жидкость поднимается на расстояние $h$. Затем вычислим дополнительную энергию жидкости как сумму энергии поляризации и обычной гравитационной энергии. Последнее дает

$\frac{1}{2}h \cdot \rho g \cdot Sh = \frac{1}{2} \rho g Sh^{2}$

Если $\sigma$ - поверхностная плотность свободного заряда на пластине, связанная плотность заряда, по задаче 7442,

$\sigma^{ \prime} = \frac{ \epsilon - 1}{ \epsilon} \sigma$

Это также объемная плотность индуцированного дипольного момента, т.е. Поляризация. Тогда энергия, как и раньше

$- \frac{1}{2} \sigma^{ \prime} E_{0} = \frac{-1}{2} \sigma^{ \prime} \frac{ \sigma}{ \epsilon_{0} } = \frac{ - ( \epsilon - 1) \sigma^{2} }{2 \epsilon_{0} \epsilon }$

и полная энергия поляризации равна

$- S (a + h) \frac{( \epsilon - 1 ) \sigma^{2} }{2 \epsilon_{0} \epsilon }$

Тогда полная энергия

$U(h) = - S (a + h) \frac{ ( \epsilon - 1) \sigma^{2} }{2 \epsilon_{0} \epsilon } + \frac{1}{2 } \rho gSh^{2}$

Фактическая высота, на которую поднимается жидкость, определяется по формуле

$\frac{dU}{dh} = U^{ \prime}(h) = 0$

Это дает $h = \frac{ ( \epsilon - 1) \sigma^{2} }{2 \epsilon_{0} \epsilon \rho g }$.