Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 7440
2018-05-14 
Имеется плоский воздушный конденсатор, площадь каждой обкладки которого равна $S$. Какую работу необходимо совершить, чтобы медленно увеличить расстояние между обкладками от $x_{1}$ до $x_{2}$, если при этом поддерживать неизменным:
а) заряд конденсатора, равный $q$;
б) напряжение на конденсаторе, равное $U$?
Решение:
(а) Произведенная работа эквивалентна работе, выполненной против электрического поля, созданного одной пластиной, находящийся в покое и работе по перемещению другой пластины. Поэтому требуемая работа,
$A_{внеш} = qE (x_{2} - x_{1})$
где $E = \frac{ \sigma }{2 \epsilon_{0} }$ - напряженность поля, создаваемого одной пластиной в месте расположения другой.
Так, $A_{внеш} = q \frac{ \sigma}{2 \epsilon_{0} }(x_{2} - x_{1} ) = \frac{q^{2} }{2 \epsilon_{0} S } (x_{2} - x_{1} )$
Альтернативный вариант: $A_{внеш} = \Delta U$ (поскольку поле является потенциальным)
$= \frac{q^{2} }{2 \epsilon_{0}S } x_{2} - \frac{q^{2} }{2 \epsilon_{0}S } x = \frac{q^{2} }{2 \epsilon_{0}S } (x_{2} - x_{1})$
(б) Когда напряжение поддерживается постоянным, сила действующая на каждую пластину конденсатора будет зависеть от расстояния между пластинами.
Итак, элементарная работа, выполняемая внешним полем, при смещении на расстояние $dx$, одной пластины относительно другой,
$dA = - F_{x}dx$
Но, $F_{x} = - \left ( \frac{ \sigma (x) }{2 \epsilon_{0} } \right ) S \sigma (x)$ и $\sigma(x) = \frac{ \epsilon_{0}V}{x}$
Следовательно, $A = \int dA = \int_{x_{1} }^{x_{2} } \frac{1}{2} \epsilon_{0} \frac{SV^{2} }{x^{2} } dx = \frac{ \epsilon_{0} SV^{2} }{2} \left [ \frac{1}{x_{1} } - \frac{1}{x_{2} } \right ]$
Альтернативный способ: из закона сохранения энергии,
$U_{кон} - U_{нач} = A_{ист} + A_{внеш}$
или $\frac{1}{2} \frac{ \epsilon_{0}S }{x_{2} } V^{2} - \frac{1}{2} \frac{ \epsilon_{0}S }{x_{1} } V^{2} = \left [ \frac{ \epsilon_{0}S }{x_{2} } - \frac{ \epsilon_{0}S }{x_{1} } \right ] V^{2} + A_{внеш}$
(при $A_{ист} = (q_{кон} - q_{нач}) V = (C_{кон} - C_{нач}) V^{2}$
тогда $A_{внеш} = \frac{ \epsilon SV^{2} }{2} \left [ \frac{1}{x_{1} } - \frac{1}{x_{2} } \right ]$
Имеется плоский воздушный конденсатор, площадь каждой обкладки которого равна $S$. Какую работу необходимо совершить, чтобы медленно увеличить расстояние между обкладками от $x_{1}$ до $x_{2}$, если при этом поддерживать неизменным:
а) заряд конденсатора, равный $q$;
б) напряжение на конденсаторе, равное $U$?
Решение:
(а) Произведенная работа эквивалентна работе, выполненной против электрического поля, созданного одной пластиной, находящийся в покое и работе по перемещению другой пластины. Поэтому требуемая работа,
$A_{внеш} = qE (x_{2} - x_{1})$
где $E = \frac{ \sigma }{2 \epsilon_{0} }$ - напряженность поля, создаваемого одной пластиной в месте расположения другой.
Так, $A_{внеш} = q \frac{ \sigma}{2 \epsilon_{0} }(x_{2} - x_{1} ) = \frac{q^{2} }{2 \epsilon_{0} S } (x_{2} - x_{1} )$
Альтернативный вариант: $A_{внеш} = \Delta U$ (поскольку поле является потенциальным)
$= \frac{q^{2} }{2 \epsilon_{0}S } x_{2} - \frac{q^{2} }{2 \epsilon_{0}S } x = \frac{q^{2} }{2 \epsilon_{0}S } (x_{2} - x_{1})$
(б) Когда напряжение поддерживается постоянным, сила действующая на каждую пластину конденсатора будет зависеть от расстояния между пластинами.
Итак, элементарная работа, выполняемая внешним полем, при смещении на расстояние $dx$, одной пластины относительно другой,
$dA = - F_{x}dx$
Но, $F_{x} = - \left ( \frac{ \sigma (x) }{2 \epsilon_{0} } \right ) S \sigma (x)$ и $\sigma(x) = \frac{ \epsilon_{0}V}{x}$
Следовательно, $A = \int dA = \int_{x_{1} }^{x_{2} } \frac{1}{2} \epsilon_{0} \frac{SV^{2} }{x^{2} } dx = \frac{ \epsilon_{0} SV^{2} }{2} \left [ \frac{1}{x_{1} } - \frac{1}{x_{2} } \right ]$
Альтернативный способ: из закона сохранения энергии,
$U_{кон} - U_{нач} = A_{ист} + A_{внеш}$
или $\frac{1}{2} \frac{ \epsilon_{0}S }{x_{2} } V^{2} - \frac{1}{2} \frac{ \epsilon_{0}S }{x_{1} } V^{2} = \left [ \frac{ \epsilon_{0}S }{x_{2} } - \frac{ \epsilon_{0}S }{x_{1} } \right ] V^{2} + A_{внеш}$
(при $A_{ист} = (q_{кон} - q_{нач}) V = (C_{кон} - C_{нач}) V^{2}$
тогда $A_{внеш} = \frac{ \epsilon SV^{2} }{2} \left [ \frac{1}{x_{1} } - \frac{1}{x_{2} } \right ]$
