Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 7437
2018-05-14 
Имеется сферическая оболочка, равномерно заряженная зарядом $q$, в центре которой расположен точечный заряд $q_{0}$. Найти работу, совершенную электрическими силами при расширении оболочки — увеличении ее радиуса от $R_{1}$ до $R_{2}$.
Решение:
Первоначально энергия системы $U_{нач} = W_{1} + W_{12}$, где $W_{1}$ - собственная энергия, а $W_{12}$ - взаимная энергия.
Тогда, $U_{нач} = \frac{1}{2} \frac{q^{2} }{4 \pi \epsilon_{0}R_{1} } + \frac{qq_{0} }{4 \pi \epsilon_{0}R_{1} }$
и при расширении, энергия системы,
$U_{кон} = W_{1}^{ \prime} + W_{12}^{ \prime} = \frac{1}{2} \frac{q^{2} }{4 \pi \epsilon_{0}R_{2} } + \frac{qq_{0} }{4 \pi \epsilon_{0}R_{2} }$
Тогда работа, выполняемая силой, $A$ равна разнице энергии,
то есть $A = (U_{нач} - U_{кон} ) = \frac{q(q_{0} + q/2)}{4 \pi \epsilon_{0} } \left ( \frac{1}{R_{1} } - \frac{1}{R_{2} } \right )$
Альтернативный способ: работа электрических сил равна уменьшению электрической энергии системы,
$A = U_{нач} - U_{кон}$
Чтобы найти разность $U_{нач} - U_{кон}$, заметим, что при расширении оболочки электрическое поле и, следовательно, локализованная в нем энергия изменяется только в заштрихованном сферическом слое следовательно, (рис.)
$U_{нач} - U_{кон} = \int_{R_{1} }^{R_{2} } \frac{ \epsilon_{0} }{2} (E_{1}^{2} - E_{2}^{2} ) 4 \pi r^{2} dr$
где $E_{1}$ и $E_{2}$ - напряженность полей (в заштрихованной области на расстоянии $r$ от центра системы) до и после расширения оболочки. Используя теорему Гаусса, находим
$E_{1} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} } \frac{q + q_{0} }{r^{2} }$ и $E_{2} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} } \frac{q_{0} }{r^{2} }$
В результате интегрирования получаем
$A = \frac{q(q_{0} + q/2 ) }{4 \pi \epsilon_{0} } \left ( \frac{1}{R_{1} } - \frac{1}{R_{2} } \right )$
Имеется сферическая оболочка, равномерно заряженная зарядом $q$, в центре которой расположен точечный заряд $q_{0}$. Найти работу, совершенную электрическими силами при расширении оболочки — увеличении ее радиуса от $R_{1}$ до $R_{2}$.
Решение:
Первоначально энергия системы $U_{нач} = W_{1} + W_{12}$, где $W_{1}$ - собственная энергия, а $W_{12}$ - взаимная энергия.
Тогда, $U_{нач} = \frac{1}{2} \frac{q^{2} }{4 \pi \epsilon_{0}R_{1} } + \frac{qq_{0} }{4 \pi \epsilon_{0}R_{1} }$
и при расширении, энергия системы,
$U_{кон} = W_{1}^{ \prime} + W_{12}^{ \prime} = \frac{1}{2} \frac{q^{2} }{4 \pi \epsilon_{0}R_{2} } + \frac{qq_{0} }{4 \pi \epsilon_{0}R_{2} }$
Тогда работа, выполняемая силой, $A$ равна разнице энергии,
то есть $A = (U_{нач} - U_{кон} ) = \frac{q(q_{0} + q/2)}{4 \pi \epsilon_{0} } \left ( \frac{1}{R_{1} } - \frac{1}{R_{2} } \right )$
Альтернативный способ: работа электрических сил равна уменьшению электрической энергии системы,
$A = U_{нач} - U_{кон}$
Чтобы найти разность $U_{нач} - U_{кон}$, заметим, что при расширении оболочки электрическое поле и, следовательно, локализованная в нем энергия изменяется только в заштрихованном сферическом слое следовательно, (рис.)
$U_{нач} - U_{кон} = \int_{R_{1} }^{R_{2} } \frac{ \epsilon_{0} }{2} (E_{1}^{2} - E_{2}^{2} ) 4 \pi r^{2} dr$
где $E_{1}$ и $E_{2}$ - напряженность полей (в заштрихованной области на расстоянии $r$ от центра системы) до и после расширения оболочки. Используя теорему Гаусса, находим
$E_{1} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} } \frac{q + q_{0} }{r^{2} }$ и $E_{2} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} } \frac{q_{0} }{r^{2} }$
В результате интегрирования получаем
$A = \frac{q(q_{0} + q/2 ) }{4 \pi \epsilon_{0} } \left ( \frac{1}{R_{1} } - \frac{1}{R_{2} } \right )$
