Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 7427
2018-05-14 
Имеется бесконечная прямая цепочка чередующихся зарядов $q$ и $- q$. Расстояние между соседними зарядами равно $a$. Найти энергию взаимодействия каждого заряда со всеми остальными.
Указание. Воспользоваться разложением $ln (1 + \alpha)$ в ряд по $\alpha$.
Решение:
Поскольку в цепочке бесконечной длины, любые два заряда одного знака будут встречаться симметрично с любым другим зарядом противоположного знака.
То, энергия взаимодействия каждого заряда со всеми остальными,
$U = - 2 \frac{q^{2} }{4 \pi \epsilon_{0}a } \left [ 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots \infty \right ]$ (1)
Но $ln(1+x) = x - \frac{1}{2}x^{2} + \frac{1}{3}x^{3} \cdots \infty$
и подставив $x = 1$, получим $ln 2 = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots \infty$ (2)
Из уравнений (1) и (2),
$U = \frac{-2 q^{2} ln 2 }{4 \pi \epsilon_{0}a }$
Имеется бесконечная прямая цепочка чередующихся зарядов $q$ и $- q$. Расстояние между соседними зарядами равно $a$. Найти энергию взаимодействия каждого заряда со всеми остальными.
Указание. Воспользоваться разложением $ln (1 + \alpha)$ в ряд по $\alpha$.
Решение:
Поскольку в цепочке бесконечной длины, любые два заряда одного знака будут встречаться симметрично с любым другим зарядом противоположного знака.
То, энергия взаимодействия каждого заряда со всеми остальными,
$U = - 2 \frac{q^{2} }{4 \pi \epsilon_{0}a } \left [ 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots \infty \right ]$ (1)
Но $ln(1+x) = x - \frac{1}{2}x^{2} + \frac{1}{3}x^{3} \cdots \infty$
и подставив $x = 1$, получим $ln 2 = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots \infty$ (2)
Из уравнений (1) и (2),
$U = \frac{-2 q^{2} ln 2 }{4 \pi \epsilon_{0}a }$
