Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 7403
2018-05-14 
Зазор между обкладками плоского конденсатора заполнен изотропным диэлектриком, проницаемость $\epsilon$ которого изменяется в перпендикулярном к обкладкам направлении по линейному закону от $\epsilon_{1}$ до $\epsilon_{2}$, причем $\epsilon_{2} > \epsilon_{1}$. Площадь каждой обкладки $S$, расстояние между ними $d$. Найти:
а) емкость конденсатора;
б) объемную плотность связанных зарядов как функцию $\epsilon$, если заряд конденсатора $q$ и поле $\vec{E}$ в нем направлено в сторону возрастания $\epsilon$.
Решение:
(a) Направим правую нижнюю ось оси х и поместим начало координат на пластину с левой стороны. Предполагается, что левая пластина положительно заряжена.
Поскольку $\epsilon$ меняется линейно, мы можем записать,
$\epsilon(x) = a + bx$
где $a$ и $b$ могут быть определены из граничного условия. $\epsilon = \epsilon_{1}$ при $x = 0$ и $\epsilon = \epsilon_{2}$ при $x = d$,
Таким образом, $\epsilon (x) = \epsilon_{1} + \left ( \frac{ \epsilon_{2} - \epsilon_{1} }{d} \right )x$
Тогда разность потенциалов между пластинами
$\phi_{+} - \phi_{-} = \int_{0}^{d} \vec{E} \cdot d \vec{r} = \int_{0}^{d} \frac{ \sigma}{ \epsilon_{0} \epsilon(x) } dx = \int_{0}^{d} \frac{ \sigma}{ \epsilon_{0} \left ( \epsilon_{1} + \frac{ \epsilon_{2} - \epsilon_{1}}{d} x \right ) } dx = \frac{ \sigma d}{ \phi_{+} - \phi_{-} } ln \frac{ \epsilon_{2} }{ \epsilon_{1} }$
Следовательно, искомая емкость, $C = \frac{ \sigma S}{ \phi_{+} - \phi_{-} } = \frac{( \epsilon_{2} - \epsilon_{1} ) \epsilon_{0}S }{Sd \epsilon^{2} (x) }$
(б) $D = \frac{q}{S}$ и $P = \frac{q}{S} - \frac{q}{S \epsilon (x) }$
и плотность пространственно связанных зарядов равна
$\rho^{ \prime} = - div P = - \frac{q ( \epsilon_{2} - \epsilon_{1} ) }{Sd \epsilon^{2} (x) }$
Зазор между обкладками плоского конденсатора заполнен изотропным диэлектриком, проницаемость $\epsilon$ которого изменяется в перпендикулярном к обкладкам направлении по линейному закону от $\epsilon_{1}$ до $\epsilon_{2}$, причем $\epsilon_{2} > \epsilon_{1}$. Площадь каждой обкладки $S$, расстояние между ними $d$. Найти:
а) емкость конденсатора;
б) объемную плотность связанных зарядов как функцию $\epsilon$, если заряд конденсатора $q$ и поле $\vec{E}$ в нем направлено в сторону возрастания $\epsilon$.
Решение:
(a) Направим правую нижнюю ось оси х и поместим начало координат на пластину с левой стороны. Предполагается, что левая пластина положительно заряжена.
Поскольку $\epsilon$ меняется линейно, мы можем записать,
$\epsilon(x) = a + bx$
где $a$ и $b$ могут быть определены из граничного условия. $\epsilon = \epsilon_{1}$ при $x = 0$ и $\epsilon = \epsilon_{2}$ при $x = d$,
Таким образом, $\epsilon (x) = \epsilon_{1} + \left ( \frac{ \epsilon_{2} - \epsilon_{1} }{d} \right )x$
Тогда разность потенциалов между пластинами
$\phi_{+} - \phi_{-} = \int_{0}^{d} \vec{E} \cdot d \vec{r} = \int_{0}^{d} \frac{ \sigma}{ \epsilon_{0} \epsilon(x) } dx = \int_{0}^{d} \frac{ \sigma}{ \epsilon_{0} \left ( \epsilon_{1} + \frac{ \epsilon_{2} - \epsilon_{1}}{d} x \right ) } dx = \frac{ \sigma d}{ \phi_{+} - \phi_{-} } ln \frac{ \epsilon_{2} }{ \epsilon_{1} }$
Следовательно, искомая емкость, $C = \frac{ \sigma S}{ \phi_{+} - \phi_{-} } = \frac{( \epsilon_{2} - \epsilon_{1} ) \epsilon_{0}S }{Sd \epsilon^{2} (x) }$
(б) $D = \frac{q}{S}$ и $P = \frac{q}{S} - \frac{q}{S \epsilon (x) }$
и плотность пространственно связанных зарядов равна
$\rho^{ \prime} = - div P = - \frac{q ( \epsilon_{2} - \epsilon_{1} ) }{Sd \epsilon^{2} (x) }$
