ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-05-14   
Небольшой проводящий шарик, имеющий заряд $q$, находится в однородном изотропном диэлектрике с проницаемостью $\epsilon$ на расстоянии $l$ от безграничной плоской границы, отделяющей диэлектрик от вакуума. Найти поверхностную плотность связанных зарядов на границе диэлектрик — вакуум как функцию расстояния $r$ от шарика. Исследовать полученный результат при $l \rightarrow 0$.


Решение:



$\vec{E}_{p} = \frac{q \vec{r}_{2} }{4 \pi \epsilon_{0} r_{2}^{3} } + \frac{q^{ \prime} \vec{r}_{1} }{4 \pi \epsilon_{0} r_{1}^{3} }$; P в 2
$\vec{E}_{p} = \frac{q^{ \prime \prime} \vec{r}_{2} }{4 \pi \epsilon_{0} r_{2}^{3} }$; P в 1

Используя граничные условия,

$E_{1n} = \epsilon E_{2n}, E_{1t} = E_{2t}$

Из этого следует

$q - \epsilon q^{ \prime} = q^{ \prime \prime}$ и $q + \epsilon q^{ \prime} = \epsilon q^{ \prime \prime}$

Тогда, $q^{ \prime \prime} = \frac{2q}{ \epsilon + 1}, q^{ \prime} = \frac{ \epsilon - 1}{ \epsilon + 1} \frac{q}{ \epsilon }$

Затем, как и раньше,

$\sigma^{ \prime} = \frac{ql}{2 \pi r^{3} } \left ( \frac{ \epsilon - 1}{ \epsilon + 1} \right ) \frac{1}{ \epsilon}$