ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-05-14   
Точечный заряд $q$ находится в вакууме на расстоянии $l$ от плоской поверхности однородного изотропного диэлектрика, заполняющего все полупространство. Проницаемость диэлектрика равна $\epsilon$. Найти:
а) поверхностную плотность связанных зарядов как функцию расстояния $r$ от точечного заряда $q$; исследовать полученный результат при $l \rightarrow 0$;
б) суммарный связанный заряд на поверхности диэлектрика.


Решение:



Заряд в точке А в среде 1 имеет зеркальное изображение в точке $A^{ \prime}$ в среде 2. Электрическое поле в среде 1 связано с фактическим зарядом $q$ в точке А и зарядом изображения $q^{ \prime}$ в точке $A^{ \prime}$. Электрическое поле в 2 обусловлено скорректированным зарядом $q^{ \prime}$ в точке A. Таким образом, на границе между 1 и 2,

$E_{1n} = \frac{q^{ \prime} }{4 \pi \epsilon_{0}r^{2} } \cos \theta - \frac{q}{4 \pi \epsilon_{0}r^{2} } \cos \theta$
$E_{1n} = \frac{- q^{ \prime \prime} }{4 \pi \epsilon_{0}r^{2} } \cos \theta$
$E_{1t} = \frac{q^{ \prime} }{4 \pi \epsilon_{0}r^{2} } \sin \theta + \frac{q }{4 \pi \epsilon_{0}r^{2} } \sin \theta$
$E_{2t} = \frac{q^{ \prime \prime} }{4 \pi \epsilon_{0}r^{2} } \sin \theta$

Граничные условия

$D_{1n} = D_{2n}$ и $E_{1t} = E_{2t}$
$\epsilon q^{ \prime \prime} = q - q^{ \prime}$
$q^{ \prime \prime} = q + q^{ \prime}$
Итак, $q^{ \prime \prime} = \frac{2q}{ \epsilon + 1}, q^{ \prime} = - \frac{ \epsilon - 1}{ \epsilon + 1}q$

(a) Поверхностная плотность связанного заряда на поверхности диэлектрика

$\sigma^{ \prime} = P_{2n} + D_{2n} - \epsilon_{0} E_{2n} = ( \epsilon - 1) \epsilon_{0} E_{2n} = - \frac{ \epsilon - 1}{ \epsilon+ 1} \frac{q}{2 \pi r^{2} } \cos \theta = - \frac{ \epsilon - 1}{ \epsilon + 1} \frac{ql}{2 \pi r^{3} } $

(б) Общий связанный заряд равен, $- \frac{ \epsilon - 1}{ \epsilon + 1} q \int_{0}^{ \infty} \frac{l}{2 \pi (l^{2} + x^{2} )^{3/2} } 2 \pi x dx = - \frac{ \epsilon - 1}{ \epsilon + 1}q$