ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-05-14   
Однородный изотропный диэлектрик имеет вид сферического слоя с радиусами $a$ и $b$. Изобразить примерные графики напряженности электрического поля $E$ и потенциала $\phi$ как функций расстояния $r$ от центра слоя, если диэлектрик имеет некоторый положительный сторонний заряд, распределенный равномерно:
а) по внутренней поверхности слоя; б) по объему слоя.


Решение:



(а) Положительный сторонний заряд распределяется равномерно по внутреннему поверхностному слою. Пусть $\sigma_{0}$ - поверхностная плотность заряда.

Ясно, что $E = 0$, при $r < a$

При $a < r$

$\epsilon_{0}E \cdot 4 \pi r^{2} = 4 \pi a^{2} \sigma_{0}$ по теореме Гаусса.

или, $E = \frac{ \sigma_{0} }{ \epsilon_{0} \epsilon } \left ( \frac{a}{r} \right )^{2}, a < r < b$

При $r > b$, аналогичным образом

$E = \frac{ \sigma_{0} }{ \epsilon_{0} } \left ( \frac{a}{r} \right )^{2}, r > b$

Тогда, $E = - \frac{ \partial \phi}{ \partial r}$.

Интегрируя из бесконечности, где $\phi ( \infty) = 0$,

$\phi = \frac{ \sigma_{0} a^{2} }{ \epsilon_{0}r } r> b$
$a < r < b \phi = \frac{ \sigma_{0}a^{2} }{ \epsilon_{0} \epsilon r } + B$, $B$ - постоянная

или из непрерывности, $\phi = \frac{ \sigma_{0}a^{2} }{ \epsilon_{0} \epsilon } \left ( \frac{1}{r} - \frac{1}{b} \right ) + \frac{ \sigma_{0}a^{2} }{ \epsilon_{0}b }, a < r < b$

При $r < a. \phi = A = const$

Из непрерывности, $\phi = \frac{ \sigma_{0} a^{2} }{ \epsilon_{0} \epsilon } \left ( \frac{1}{a} - \frac{1}{b} \right ) + \frac{ \sigma_{0}a^{2} }{ \epsilon_{0} b }$

(б) Положительный сторонний заряд распределяется равномерно по внутреннему объему диэлектрика

Пусть $\rho_{0} = $ Объемная плотность заряда в диэлектрике при $a < r < b$.

$E = 0, r < a$

$\epsilon_{0} \epsilon 4 \pi r^{2} E = \frac{4 \pi}{3} (r^{3} - a^{3}) \rho_{0}, (a < r < b)$

или, $E = \frac{ \rho_{0} }{3 \epsilon_{0} \epsilon } \left ( r - \frac{a^{3} }{r^{2} } \right )$

$E = \frac{4 \pi}{3} (b^{3} - a^{3}) \rho_{0} / \epsilon_{0} 4 \pi r^{2}, r > b$

или, $E = \frac{(b^{3} - a^{3} ) \rho_{0} }{3 \epsilon_{0}r^{2} }$ для $r > b$

Интегрируя,

$\phi = \frac{(b^{3} - a^{3} ) \rho_{0} }{3 \epsilon_{0}r }$ при $r > b$

или, $\phi = B - \frac{ \rho_{0} }{3 \epsilon_{0} \epsilon } \left ( \frac{r^{2} }{2} + \frac{a^{3} }{r} \right ), a < r < b$

Из непрерывности

$\frac{b^{3} - a^{3} }{3 \epsilon_{0}b } \rho_{0} = B - \frac{ \rho_{0} }{3 \epsilon_{0} \epsilon } \left ( \frac{b^{2} }{2} + \frac{a^{3} }{b} \right )$

или, $B = \frac{ \rho_{0} }{3 \epsilon_{0} \epsilon } \left ( \frac{ \epsilon (b^{3} - a^{3} ) }{b} + \left ( \frac{b^{2} }{2} + \frac{a^{3} }{b} \right ) \right )$

Окончательно, $\phi = B - \frac{ \rho_{0} }{3 \epsilon_{0} \epsilon } \left ( \frac{a^{2} }{2} + a^{2} \right ) = B - \frac{ \rho_{0}a^{2} }{2 \epsilon_{0} \epsilon }, r < a$

На основе полученных выражений $E(r)$ и $( \phi ) (r)$ можно построить.