Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 7369
2018-05-14 
Незаряженный проводящий шар радиуса $R$ поместили во внешнее однородное электрическое поле, в результате чего на поверхности шара появился индуцированный заряд с поверхностной плотностью $\sigma = \sigma_{0} \cos \theta$, где $\sigma_{0}$ — постоянная, $\theta$ — полярный угол. Найти модуль вектора результирующей электрической силы, которая действует на индуцированный заряд одного знака.
Решение:
Мы знаем, что сила, действующая на элемент площади $dS$ проводника,
$d \vec{F} = \frac{1}{2} \sigma \vec{E} dS$ (1)
Из соображений симметрии следует, что результирующая сила $\vec{F}$ направлена вдоль оси z и, следовательно, ее можно представить в виде суммы (интеграла) проекции элементарных сил (1) на ось z:
$dF_{z} = dF \cos \theta$ (2)
Для простоты рассмотрим площадь элемента $dS = 2 \pi R \sin \theta Rd \theta$ (рис.). Теперь, учитывая, что $E = \sigma / \epsilon_{0}$. Уравнение (2) принимает вид
$dF_{z} = \frac{ \pi \sigma^{2} R^{2} }{ \epsilon_{0} } \sin \theta \cos \theta d \theta = - \left ( \frac{ \pi \sigma_{0}^{2} R^{2} }{ \epsilon_{0} } \right ) \cos^{3} \theta d \cos \theta$
Интегрируя это выражение по полусфере (т.е. По $\cos \theta$ между 1 и 0), получим
$F = F_{z} = \frac{ \pi \sigma_{0}^{2}R^{2} }{4 \epsilon_{0} }$
Незаряженный проводящий шар радиуса $R$ поместили во внешнее однородное электрическое поле, в результате чего на поверхности шара появился индуцированный заряд с поверхностной плотностью $\sigma = \sigma_{0} \cos \theta$, где $\sigma_{0}$ — постоянная, $\theta$ — полярный угол. Найти модуль вектора результирующей электрической силы, которая действует на индуцированный заряд одного знака.
Решение:
Мы знаем, что сила, действующая на элемент площади $dS$ проводника,
$d \vec{F} = \frac{1}{2} \sigma \vec{E} dS$ (1)
Из соображений симметрии следует, что результирующая сила $\vec{F}$ направлена вдоль оси z и, следовательно, ее можно представить в виде суммы (интеграла) проекции элементарных сил (1) на ось z:
$dF_{z} = dF \cos \theta$ (2)
Для простоты рассмотрим площадь элемента $dS = 2 \pi R \sin \theta Rd \theta$ (рис.). Теперь, учитывая, что $E = \sigma / \epsilon_{0}$. Уравнение (2) принимает вид
$dF_{z} = \frac{ \pi \sigma^{2} R^{2} }{ \epsilon_{0} } \sin \theta \cos \theta d \theta = - \left ( \frac{ \pi \sigma_{0}^{2} R^{2} }{ \epsilon_{0} } \right ) \cos^{3} \theta d \cos \theta$
Интегрируя это выражение по полусфере (т.е. По $\cos \theta$ между 1 и 0), получим
$F = F_{z} = \frac{ \pi \sigma_{0}^{2}R^{2} }{4 \epsilon_{0} }$
