ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-05-14   
Очень длинная прямая нить ориентирована перпендикулярно к безграничной проводящей плоскости и не доходит до этой плоскости на расстояние $l$. Нить заряжена равномерно с линейной плотностью $\lambda$. Пусть точка О — след нити на плоскости. Найти поверхностную плотность индуцированного заряда на плоскости:
а) в точке О;
б) в зависимости от расстояния $r$ до точки О.


Решение:



(a) В точке О,

$E_{n}(O) = 2 \int_{l}^{ \infty} \frac{ \lambda dx}{4 \pi \epsilon_{0} x^{2} } = \frac{ \lambda}{2 \pi \epsilon_{0}l }$

Тогда, $\sigma (O) = \epsilon_{0}E_{n} = \frac{ \lambda}{2 \pi l}$

(б) $E_{n}(r) = 2 \int_{l}^{ \infty} \frac{ \lambda dx}{4 \pi \epsilon_{0} (x^{2} + r^{2} ) } \frac{x}{ \sqrt{x^{2} + r^{2} } } = \frac{ \lambda}{2 \pi \epsilon_{0} } \int_{l}^{ \infty} \frac{xdx}{ (x^{2} + r^{2} )^{3/2} } = \frac{ \lambda}{4 \pi \epsilon_{0} } \int_{l^{2} + r^{2} }^{ \infty} \frac{dy}{y^{3/2} } $, при подстановке $y = x^{2} + r^{2} $,
$= \frac{ \lambda}{2 \pi \epsilon_{0} \sqrt{l^{2} + r^{2} } }$

Следовательно $\sigma(r) = \epsilon_{0}E_{n} = \frac{ \lambda}{ 2 \pi \sqrt{l^{2} + r^{2} } } $