Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 735
2014-06-15 
Лодка переправляется из пункта В, расположенного на одном берегу шириной $l$, в пункт А, расположенный на другом берегу выше по течению на расстоянии $3l/4$ от пункта В (см. рисунок). В процессе переправы лодочник в каждый момент времени направляет нос лодки в направлении пункта А, мотор развивает постоянное усилие. Известно, что скорость, которую имела бы лодка в стоячей воде, равна скорости течения реки. На каком расстоянии от пункта А будет находиться лодка, когда дойдет до середины реки?
Решение:
То. что лодочник в каждый момент времени ставит нос лодки в направлении города А, означает: вектор скорости лодки относительно воды $\overrightarrow{v}$ в каждый момент времени направлен в город А. А вот двигаться в каждый момент времени лодка будет в другом направлении из-за сноса течением. Действительно, поскольку скорость лодки относительно земли $\overrightarrow{v}_{1}$ (а именно, она определяет траекторию) определяется законом сложения скоростей
$\overrightarrow{v}_{1} = \overrightarrow{v} + \overrightarrow{u}$, (1)
где $\overrightarrow{u}$ - скорость течения, то из-за разных направлений вектора $\overrightarrow{v}$ и величина, и направление вектора $\overrightarrow{v}_{1}$ будут различными. На рисунке показана траектория лодки и параллелограммы сложения скоростей, отвечающие закону (1) в ратных точках траектории. Из-за изменения направления скорости $\overrightarrow{v}_{1}$ лодка движется по кривой траектории.
По условию величина скорости лодки в стоячей воде и скорости течения одинаковы в каждый момент времени. Поэтому параллелограмм сложения скоростей является ромбом, и, следовательно, в каждый момент времени проекция вектора скорости лодки относительно земли на направление ЛА и на направление течения одинаковы. Поэтому за каждый малый интервал времени лодка приближается к точке А и спускается вниз по течению на одинаковое расстояние. А это значит, что если ввести вспомогательную прямую, расположенную от начального положения лодки ниже по течению на таком же расстоянии, как и точка А (прямая PQ на рисунке), то в каждый момент времени расстояния от лодки до точки А и до прямой PQ будут одинаковы. Поскольку в начальный момент времени лодка расположена на расстоянии $\sqrt{l^{2} + (3l/4)^{2}} = 5l/4$ от точки А, то и расстояние от начального положения лодки до прямой PQ равно $5l/4$.
Получим теперь уравнение траектории. Введем систему координат так, как это показано на рисунке, рассмотрим некоторое промежуточное положение лодки $Л_{1}$ и найдем связь ее координат $x$ и $y$. С одной стороны, из приведенных рассуждений следует, что $Л_{1}A = Л_{1}М$. С другой - $ Л_{1}A = \sqrt{x^{2} + y^{2}}, Л_{1}М = 2l-y $. Поэтому
$\sqrt{x^{2}+y^{2}} = 2l-y$. (2)
Возводя формулу (2) в квадрат, получаем у равнение траектории
$y = - \frac{x^{2}}{4l} + l$.
Эта траектория - парабола, сдвинутая вдоль оси у на расстояние $l$ (пунктирная кривая на рисунке), с ветвями, направленными против оси у. Отсюда находятся все характерные точки згой траектории. В частности, когда лодка находится на середине реки, ее координата $x$ равна $l/2$. Координату $y$ лодки в этот момент находим из формулы (3)
$y = \frac{15l}{16}$, (4)
а затем и расстояние от лодки до точки А
$Л_{1}А = \sqrt{(l/2)^{2} + (15l/16)^{2}} = \frac{17}{16} l$.
Лодка переправляется из пункта В, расположенного на одном берегу шириной $l$, в пункт А, расположенный на другом берегу выше по течению на расстоянии $3l/4$ от пункта В (см. рисунок). В процессе переправы лодочник в каждый момент времени направляет нос лодки в направлении пункта А, мотор развивает постоянное усилие. Известно, что скорость, которую имела бы лодка в стоячей воде, равна скорости течения реки. На каком расстоянии от пункта А будет находиться лодка, когда дойдет до середины реки?
Решение:
То. что лодочник в каждый момент времени ставит нос лодки в направлении города А, означает: вектор скорости лодки относительно воды $\overrightarrow{v}$ в каждый момент времени направлен в город А. А вот двигаться в каждый момент времени лодка будет в другом направлении из-за сноса течением. Действительно, поскольку скорость лодки относительно земли $\overrightarrow{v}_{1}$ (а именно, она определяет траекторию) определяется законом сложения скоростей
$\overrightarrow{v}_{1} = \overrightarrow{v} + \overrightarrow{u}$, (1)
где $\overrightarrow{u}$ - скорость течения, то из-за разных направлений вектора $\overrightarrow{v}$ и величина, и направление вектора $\overrightarrow{v}_{1}$ будут различными. На рисунке показана траектория лодки и параллелограммы сложения скоростей, отвечающие закону (1) в ратных точках траектории. Из-за изменения направления скорости $\overrightarrow{v}_{1}$ лодка движется по кривой траектории.
По условию величина скорости лодки в стоячей воде и скорости течения одинаковы в каждый момент времени. Поэтому параллелограмм сложения скоростей является ромбом, и, следовательно, в каждый момент времени проекция вектора скорости лодки относительно земли на направление ЛА и на направление течения одинаковы. Поэтому за каждый малый интервал времени лодка приближается к точке А и спускается вниз по течению на одинаковое расстояние. А это значит, что если ввести вспомогательную прямую, расположенную от начального положения лодки ниже по течению на таком же расстоянии, как и точка А (прямая PQ на рисунке), то в каждый момент времени расстояния от лодки до точки А и до прямой PQ будут одинаковы. Поскольку в начальный момент времени лодка расположена на расстоянии $\sqrt{l^{2} + (3l/4)^{2}} = 5l/4$ от точки А, то и расстояние от начального положения лодки до прямой PQ равно $5l/4$.
Получим теперь уравнение траектории. Введем систему координат так, как это показано на рисунке, рассмотрим некоторое промежуточное положение лодки $Л_{1}$ и найдем связь ее координат $x$ и $y$. С одной стороны, из приведенных рассуждений следует, что $Л_{1}A = Л_{1}М$. С другой - $ Л_{1}A = \sqrt{x^{2} + y^{2}}, Л_{1}М = 2l-y $. Поэтому
$\sqrt{x^{2}+y^{2}} = 2l-y$. (2)
Возводя формулу (2) в квадрат, получаем у равнение траектории
$y = - \frac{x^{2}}{4l} + l$.
Эта траектория - парабола, сдвинутая вдоль оси у на расстояние $l$ (пунктирная кривая на рисунке), с ветвями, направленными против оси у. Отсюда находятся все характерные точки згой траектории. В частности, когда лодка находится на середине реки, ее координата $x$ равна $l/2$. Координату $y$ лодки в этот момент находим из формулы (3)
$y = \frac{15l}{16}$, (4)
а затем и расстояние от лодки до точки А
$Л_{1}А = \sqrt{(l/2)^{2} + (15l/16)^{2}} = \frac{17}{16} l$.
