Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 7343
2018-05-14 
Две безграничные плоскости, отстоящие друг от друга на расстояние $l$, заряжены равномерно с поверхностной плотностью $\sigma$ и $- \sigma$а (рис.). Плоскости имеют коаксиальные отверстия радиуса $R$, причем $l \ll R$. Взяв координатную ось $x$ с началом отсчета О, как показано на рисунке, найти потенциал и проекцию вектора напряженности электрического поля $E_{x}$ на оси системы как функции координаты $x$. Изобразить примерный график $\phi(x)$.
Решение:
Поле пары противоположно заряженных плоскостей с отверстиями может быть получено наложением противоположно заряженных плоскостей и дисков с противоположными зарядами. Тогда заряженные плоскосоти не вносят никакого вклада в какое-либо поле вне их. Таким образом, используя результат задачи 7342
$\phi = \int_{0}^{R} \frac{(- \sigma)l 2 \pi r dr x}{4 \pi \epsilon_{0}(r^{2} + x^{2} )^{3/2} } = - \frac{ \sigma xl}{4 \epsilon_{0} } \int_{x^{2} }^{R^{2} + x^{2} } \frac{dy}{y^{3/2} } = \frac{ \sigma xl}{2 \epsilon_{0} \sqrt{R^{2} + x^{2} } }$
$E_{x} = - \frac{ \partial \phi}{ \partial x} = - \frac{ \sigma l}{2 \epsilon_{0} } \left [ \frac{1}{ \sqrt{R^{2} + x^{2} } } - \frac{x^{2} }{(R^{2} + x^{2} )^{3/2} } \right ] = - \frac{ \sigma l R^{2} }{2 \epsilon_{0} (R^{2} + x^{2} )^{3/2} }$.
Две безграничные плоскости, отстоящие друг от друга на расстояние $l$, заряжены равномерно с поверхностной плотностью $\sigma$ и $- \sigma$а (рис.). Плоскости имеют коаксиальные отверстия радиуса $R$, причем $l \ll R$. Взяв координатную ось $x$ с началом отсчета О, как показано на рисунке, найти потенциал и проекцию вектора напряженности электрического поля $E_{x}$ на оси системы как функции координаты $x$. Изобразить примерный график $\phi(x)$.
Решение:
Поле пары противоположно заряженных плоскостей с отверстиями может быть получено наложением противоположно заряженных плоскостей и дисков с противоположными зарядами. Тогда заряженные плоскосоти не вносят никакого вклада в какое-либо поле вне их. Таким образом, используя результат задачи 7342
$\phi = \int_{0}^{R} \frac{(- \sigma)l 2 \pi r dr x}{4 \pi \epsilon_{0}(r^{2} + x^{2} )^{3/2} } = - \frac{ \sigma xl}{4 \epsilon_{0} } \int_{x^{2} }^{R^{2} + x^{2} } \frac{dy}{y^{3/2} } = \frac{ \sigma xl}{2 \epsilon_{0} \sqrt{R^{2} + x^{2} } }$
$E_{x} = - \frac{ \partial \phi}{ \partial x} = - \frac{ \sigma l}{2 \epsilon_{0} } \left [ \frac{1}{ \sqrt{R^{2} + x^{2} } } - \frac{x^{2} }{(R^{2} + x^{2} )^{3/2} } \right ] = - \frac{ \sigma l R^{2} }{2 \epsilon_{0} (R^{2} + x^{2} )^{3/2} }$.
