Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 7342
2018-05-14 
Два коаксиальных кольца, каждое радиуса $R$, из тонкой проволоки находятся на малом расстоянии $l$ друг от друга ($l \ll R$) и имеют заряды $q$ и $- q$. Найти потенциал и напряженность электрического поля на оси системы как функции координаты $x$ (рис.). Изобразить на одном рисунке примерные графики полученных зависимостей. Исследовать эти функции при $|x| \gg R$.
Решение:
Потенциал может быть рассчитан суперпозицией. Выберем плоскость верхнего кольца как $x = l/2$, а нижнее кольцо $x = - l/2$.
Тогда $\phi = \frac{q}{4 \pi \epsilon_{0} \sqrt{R^{2} + (x - l/2)^{2} } } - \frac{q}{4 \pi \epsilon_{0} \sqrt{ R^{2} + (x - l/2)^{2} } } = \frac{q}{4 \pi \epsilon_{0} \sqrt{ R^{2} + x^{2} - lx } } - \frac{q}{4 \pi \epsilon_{0} \sqrt{ R^{2} + x^{2} + lx } } = \frac{q}{4 \pi \epsilon_{0} \sqrt{ R^{2} + x^{2} } } \left ( 1 + \frac{lx}{2(R^{2} + x^{2} ) } \right ) - \frac{q}{4 \pi \epsilon_{0} \sqrt{ R^{2} + x^{2} } } \left ( 1 - \frac{lx}{2(R^{2} + x^{2} ) } \right ) = \frac{qlx}{4 \pi \epsilon (R^{2} + x^{2} )^{3/2} }$
Для $|x| \gg R, \phi \approx \frac{ql}{4 \pi x^{2} }$
Электрическое поле $E = - \frac{ \partial \phi }{ \partial x} = - \frac{ql}{4 \pi \epsilon_{0} (R^{2} + x^{2} )^{3/2} } + \frac{3}{2} \frac{ql}{ (R^{2} + x^{2} )^{5/2} 4 \pi \epsilon_{0} } 3x = \frac{ql (2x^{2} - R^{2}) }{4 \pi \epsilon_{0} (R^{2} + x^{2} )^{5/2}} $
Для $|x| \gg R, E \approx \frac{ql}{2 \pi \epsilon_{0}x^{3} }$.
Два коаксиальных кольца, каждое радиуса $R$, из тонкой проволоки находятся на малом расстоянии $l$ друг от друга ($l \ll R$) и имеют заряды $q$ и $- q$. Найти потенциал и напряженность электрического поля на оси системы как функции координаты $x$ (рис.). Изобразить на одном рисунке примерные графики полученных зависимостей. Исследовать эти функции при $|x| \gg R$.
Решение:
Потенциал может быть рассчитан суперпозицией. Выберем плоскость верхнего кольца как $x = l/2$, а нижнее кольцо $x = - l/2$.
Тогда $\phi = \frac{q}{4 \pi \epsilon_{0} \sqrt{R^{2} + (x - l/2)^{2} } } - \frac{q}{4 \pi \epsilon_{0} \sqrt{ R^{2} + (x - l/2)^{2} } } = \frac{q}{4 \pi \epsilon_{0} \sqrt{ R^{2} + x^{2} - lx } } - \frac{q}{4 \pi \epsilon_{0} \sqrt{ R^{2} + x^{2} + lx } } = \frac{q}{4 \pi \epsilon_{0} \sqrt{ R^{2} + x^{2} } } \left ( 1 + \frac{lx}{2(R^{2} + x^{2} ) } \right ) - \frac{q}{4 \pi \epsilon_{0} \sqrt{ R^{2} + x^{2} } } \left ( 1 - \frac{lx}{2(R^{2} + x^{2} ) } \right ) = \frac{qlx}{4 \pi \epsilon (R^{2} + x^{2} )^{3/2} }$
Для $|x| \gg R, \phi \approx \frac{ql}{4 \pi x^{2} }$
Электрическое поле $E = - \frac{ \partial \phi }{ \partial x} = - \frac{ql}{4 \pi \epsilon_{0} (R^{2} + x^{2} )^{3/2} } + \frac{3}{2} \frac{ql}{ (R^{2} + x^{2} )^{5/2} 4 \pi \epsilon_{0} } 3x = \frac{ql (2x^{2} - R^{2}) }{4 \pi \epsilon_{0} (R^{2} + x^{2} )^{5/2}} $
Для $|x| \gg R, E \approx \frac{ql}{2 \pi \epsilon_{0}x^{3} }$.
