ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-05-14   
Показать, что потенциал поля диполя с электрическим моментом $\vec{p}$ (рис.) может быть представлен как $\phi = \vec{p} \vec{r}/4 \pi \epsilon_{0}r^{3}$, где $\vec{r}$ — радиус-вектор. Найти с помощью этого выражения модуль вектора напряженности электрического поля диполя как функцию $r$ и $\theta$.



Решение:



Пусть два заряда $+ q$ и $-q$ разделены расстоянием $l$. Тогда электрический потенциал в точке на расстоянии $r \gg l$ от этого диполя,

$\phi (r) = \frac{+q}{4 \pi \epsilon_{0}r_{+} } + \frac{-q}{4 \pi \epsilon_{0}r_{-} } = \frac{q}{4 \pi \epsilon_{0} } \left ( \frac{r_{-} - r_{+} }{r_{+}r_{-} } \right )$

Но $r_{-} - r_{+} = l \cos \phi$ и $r_{+}r_{-} \approx r^{2}$

Из уравнений (1) и (2)

$\phi(r) = \frac{ql \cos \theta}{4 \pi \epsilon_{0}r^{2} } = \frac{p \cos \theta}{4 \pi \epsilon_{0}r^{2} } \phi = \frac{ \vec{p} \cdot \vec{r} }{4 \pi \epsilon_{0} r^{3} }$,

где $p$ - величина электрического диполя

$E_{r} = - \frac{ \partial \phi}{ \partial r} = \frac{2p \cos \theta}{4 \pi \epsilon_{0} r^{3} }$
$E_{ \theta} = - \frac{ \partial \phi}{r \partial \theta} = \frac{p \sin \theta}{4 \pi \epsilon_{0} r^{3} }$

Итак $E = \sqrt{ E_{r}^{2} + E_{0}^{2}} = \frac{p}{ 4 \pi \epsilon_{0} r^{3} } \sqrt{4 \cos^{2} \theta + \sin^{2} \theta }$