ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-05-14   
Заряд $q$ распределен равномерно по объему шара радиуса $R$. Полагая диэлектрическую проницаемость всюду равной единице, найти потенциал:
а) в центре шара;
б) внутри шара как функцию расстояния $r$ от его центра.


Решение:


Из теоремы Гаусса напряженность в точке, внутри сферы на расстоянии $r$ от центра задается формулой $E_{r} = \frac{ \rho r}{3 \epsilon_{0} }$ и вне ее, задается формулой $E_{r} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} } \frac{q}{r^{2} }$

(a) Потенциал в центре сферы,

$\phi_{0} = \int_{0}^{ \infty} \vec{E} \cdot d \vec{r} = \int_{0}^{R} \frac{ \rho r}{3 \epsilon_{0} } dr + \int_{R}^{ \infty} \frac{q}{4 \pi \epsilon_{0} r^{2} } dr = \frac{ \rho}{3 \epsilon_{0} } \frac{R^{2} }{2} + \frac{q}{4 \pi \epsilon_{0}R } = \frac{q}{8 \pi \epsilon_{0}R } + \frac{q}{4 \pi \epsilon_{0}R } = \frac{3q}{8 \pi \epsilon_{0}R }$ (при $\rho = \frac{3q}{4 \pi R^{3} } $)

(б) Потенциал в любой точке, внутри сферы, на расстоянии $r$ от центра $s$.

$\phi (r) = \int_{r}^{R} \frac{ \rho}{3 \epsilon_{0} } rdr \int_{r}^{ \infty} \frac{q}{4 \pi \epsilon_{0} } \frac{dr}{r^{2} }$

При интегрировании: $\phi (r) = \frac{3q}{8 \pi \epsilon_{0}R } \left [1 - \frac{r^{2} }{3R^{2} } \right ] = \phi_{0} \left [ 1 - \frac{r^{2} }{3R^{2} } \right ]$