ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-05-14   
Потенциал некоторого электростатического поля имеет вид $\phi = a(x^{2} + y^{2}) + bz^{2}$, где $a$ и $b$ — постоянные. Найти модуль и направление вектора напряженности поля. Какую форму имеют эквипотенциальные поверхности в случаях:
а) $a > 0, b > 0$; б) $a > 0, b < 0$?


Решение:


Учитывая, что $\phi = a (x^{2} + y^{2}) + bz^{2}$

Итак, $\vec{E} = - \vec{ \nabla} \phi = - [2 ax \vec{i} + 2 ay \vec{j} + 2 bz \vec{k} ]$

Следовательно, $| \vec{E} | = 2 \sqrt{ a^{2}(x^{2} + y^{2} ) + b^{2}z^{2} }$

Форма эквипотенциальной поверхности

$ \vec{ \rho } = x \vec{i} + y \vec{j}$ или $\rho^{2} = x^{2} + y^{2}$

Тогда эквипотенциальная поверхность представлена уравнением

$a \rho^{2} + b z^{2} = const = \phi$

Если $a > 0, b > 0$, то $\phi > 0$, и уравнение эквипотенциальной поверхности

$\frac{ \rho}{ \phi /a } + \frac{z^{2} }{ \phi / b} = 1$

которое является эллипсом в координатах $\rho, z$. В трех измерениях поверхность представляет собой эллипсоид вращения с полуосью $\sqrt{ \phi / a }, \sqrt{ \phi / a }, \sqrt{ \phi / b }$.

Если $a > 0, b < 0$, то $\phi$ может быть 0. Если $\phi > 0$, то уравнение

$\frac{ \rho^{2} }{ \phi / a} - \frac{z^{2} }{ \phi / |b|} = 1$

Это однополосный гиперболоид вращения вокруг оси $z$. Если $\phi = 0$, то

$a \rho^{2} - |b| z^{2} = 0$

или $z = \pm \sqrt{ \frac{a}{ |b| } } \rho$

является уравнением правого кругового конуса.

Если $\phi < 0$, то уравнение можно записать в виде

$| b | z^{2} - a \rho^{2} = | \phi |$

или $\frac{z^{2} }{ | \phi|/ |b| } - \frac{ \rho^{2} }{ | \phi| /a } = 1$

Это двухполостный гиперболоид вращения вокруг оси z.