ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-05-14   
Найти потенциал $\phi$ на краю тонкого диска радиуса $R$, по которому равномерно распределен заряд с поверхностной плотностью $\sigma$.


Решение:



По определению потенциал в случае распределения поверхностного заряда определяется интегралом $\phi = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \int \frac{ \sigma dS }{r}$. Чтобы упростить интегрирование, мы выберем элемент области $dS$ в виде части кольца радиуса $r$ и ширины $dr$ (рис.). Тогда $dS = 2 \theta rdr, r = 2R \cos \theta$ и $dr = - 2R sin \theta d \theta$. После подстановки этих выражений в интеграл $\phi = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} } \int \frac{ \sigma dS }{r}$, получим выражение для $\phi$ в точке О:

$\phi = - \frac{ \sigma R}{ \pi \epsilon_{0} } \int_{ \pi /2}^{0} \theta \sin \theta d \theta$

Проинтегрируем по частям,
обозначая $\theta = u$ и и $\sin \theta d \theta = d v$:

$\int \theta \sin \theta d \theta = - \theta \cos \theta + \int \cos \theta d \theta = - \theta \cos \theta + \sin \theta$

которая дает -1 после подстановки пределов интегрирования. В результате получаем

$\phi = \sigma R / \pi \epsilon_{0}$