Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 7332
2018-05-14 
Находящаяся в вакууме круглая очень тонкая пластинка радиуса $R$ равномерно заряжена с поверхностной плотностью $\sigma$. Найти потенциал и напряженность электрического поля на оси пластинки как функцию расстояния $l$ от ее центра. Исследовать полученное выражение при $l \rightarrow 0$ и $l \gg R$.
Решение:
Рассмотрим элементарное кольцо толщины $dy$ и радиуса $y$, как показано на рисунке. Тогда потенциал в точке P на расстоянии $l$ от центра диска равен
$d \phi = \frac{ \sigma 2 \pi y dy }{4 \pi \epsilon_{0} \sqrt{y^{2} + l^{2} } }$
Следовательно, потенциал от всего диска,
$\phi = \int_{0}^{R} \frac{ \sigma 2 \pi y dy}{4 \pi \epsilon_{0} \sqrt{y^{2} + l^{2} } } = \frac{ \sigma l}{2 \epsilon_{0} } \left ( \sqrt{1 + (R/l)^{2} } - 1 \right )$
Из симметрии
$E = E_{l} = - \frac{d \phi}{dl} = - \frac{ \sigma}{2 \epsilon_{0} } \left [ \frac{2l}{ 2 \sqrt{R^{2} + l^{2} } } - 1 \right ] = \frac{ \sigma }{2 \epsilon_{0}} \left [ 1 - \frac{1}{ \sqrt{1 + (R/l)^{2} } } \right ]$
когда $l \rightarrow 0, \phi \approx \frac{ \sigma R}{2 \epsilon_{0} }, E = \frac{ \sigma}{2 \epsilon_{0} }$ и когда $l \gg R$,
$\phi \approx \frac{ \sigma R^{2} }{4 \epsilon_{0}l }, E = \frac{ \sigma R^{2} }{4 \epsilon_{0} l^{2} }$
Находящаяся в вакууме круглая очень тонкая пластинка радиуса $R$ равномерно заряжена с поверхностной плотностью $\sigma$. Найти потенциал и напряженность электрического поля на оси пластинки как функцию расстояния $l$ от ее центра. Исследовать полученное выражение при $l \rightarrow 0$ и $l \gg R$.
Решение:
Рассмотрим элементарное кольцо толщины $dy$ и радиуса $y$, как показано на рисунке. Тогда потенциал в точке P на расстоянии $l$ от центра диска равен
$d \phi = \frac{ \sigma 2 \pi y dy }{4 \pi \epsilon_{0} \sqrt{y^{2} + l^{2} } }$
Следовательно, потенциал от всего диска,
$\phi = \int_{0}^{R} \frac{ \sigma 2 \pi y dy}{4 \pi \epsilon_{0} \sqrt{y^{2} + l^{2} } } = \frac{ \sigma l}{2 \epsilon_{0} } \left ( \sqrt{1 + (R/l)^{2} } - 1 \right )$
Из симметрии
$E = E_{l} = - \frac{d \phi}{dl} = - \frac{ \sigma}{2 \epsilon_{0} } \left [ \frac{2l}{ 2 \sqrt{R^{2} + l^{2} } } - 1 \right ] = \frac{ \sigma }{2 \epsilon_{0}} \left [ 1 - \frac{1}{ \sqrt{1 + (R/l)^{2} } } \right ]$
когда $l \rightarrow 0, \phi \approx \frac{ \sigma R}{2 \epsilon_{0} }, E = \frac{ \sigma}{2 \epsilon_{0} }$ и когда $l \gg R$,
$\phi \approx \frac{ \sigma R^{2} }{4 \epsilon_{0}l }, E = \frac{ \sigma R^{2} }{4 \epsilon_{0} l^{2} }$
