ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-05-14   
Найти потенциал и напряженность электрического поля в центре полусферы радиуса $R$, заряженной равномерно с поверхностной плотностью $\sigma$.


Решение:



Рассмотрим кольцевой элемент, как показано на рисунке. Тогда заряд, элемента, $dq = (2 \pi R \sin \theta) R d \theta \sigma$,

Следовательно, потенциал, обусловленный рассматриваемым элементом в центре полушария,

$d \phi = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} } \frac{dq}{R} = \frac{2 \pi \sigma R \sin \theta d \theta }{4 \pi \epsilon_{0} } = \frac{ \sigma R}{2 \epsilon_{0} } \sin \theta d \theta$

Таким образом, потенциал от всего полушария

$\phi = \frac{R \sigma}{2 \epsilon_{0} } \int_{0}^{ \pi /2} \sin \theta d \theta = \frac{ \sigma R}{2 \epsilon_{0} }$

Тогда из симметрии задачи электрическое поле полусферы направлено к отрицательной оси у. Получаем

$dE_{y} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} } \frac{dq \cos \theta}{R^{2} } = \frac{ \sigma}{2 \epsilon_{0} } \sin \theta \cos \theta d \theta$

Таким образом, $E = E_{y}^{ \prime} = \frac{ \sigma}{2 \epsilon_{0} } \int_{0}^{ \pi /2} \sin \theta \cos \theta d \theta = \frac{ \sigma }{4 \epsilon_{0} } \int_{0}^{ \pi /2} \sin 2 \theta d \theta = \frac{ \sigma}{4 \epsilon_{0} }$ вдоль YO