ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-05-14   
Пространство заполнено зарядом с объемной плотностью $\rho = \rho_{0}e^{- \alpha r^{3}}$, где $\rho_{0}$ и $\alpha$ — положительные константы, $r$ — расстояние от центра данной системы. Найти модуль вектора напряженности электрического поля как функцию $r$. Исследовать полученное выражение при малых и больших $r$, т. е. при $\alpha r^{3} \ll 1$ и $\alpha r^{3} \gg 1$.


Решение:



Рассмотрим сферический слой радиуса $r$ и толщину $dr$, имеющий центр, совпадающий с центром системы. Тогда, используя теорему Гаусса для этой поверхности,

$E_{r} 4 \pi r^{2} = \frac{q_{включенный} }{ \epsilon_{0} } = \int_{0}^{r} \frac{ \rho dV}{ \epsilon_{0} } = \frac{1}{ \epsilon_{0} } \int_{0}^{r} \rho_{0} e^{- \alpha r^{3} } 4 \pi r^{2} dr $

После интегрирования

$E_{r} 4 \pi r^{2} = \frac{ \rho 4 \pi }{3 \epsilon_{0} \alpha } (1 - e^{- \alpha r^{3} } )$

или, $E_{r} = \frac{ \rho_{0} }{3 \epsilon_{0} \alpha r^{2} } (1 - e^{ - \alpha r^{3} } )$

Теперь, когда $\alpha r^{3} \ll 1, E_{r} \approx \frac{ \rho_{0}r }{ 3 \epsilon_{0} }$

И тогда $\alpha r^{3} \gg 1, E_{r} \approx \frac{ \rho_{0} }{3 \epsilon_{0} \alpha r^{2} }$