Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 7324
2018-05-14 
Шар радиуса $R$ имеет положительный заряд, объемная плотность которого зависит только от расстояния $r$ до его центра по закону $\rho = \rho_{0} (1 - r/R)$, где $\rho_{0}$ — постоянная. Полагая диэлектрическую проницаемость шара и окружающего пространства равной единице, найти:
а) модуль вектора напряженности электрического поля внутри и вне шара как функцию расстояния $r$;
б) максимальное значение напряженности $E_{max}$ и соответствующее ему значение расстояния $r_{m}$.
Решение:
(a) Рассмотрим сферу радиуса $r < R$, тогда заряд, включенный в рассматриваемую сферу,
$q_{включенный} = \int_{0}^{r} 4 \pi r^{2} dr \rho = \int_{0}^{r} 2 \pi r^{2} \rho_{0} \left ( 1 - \frac{r}{R} \right ) dr$ (1)
Теперь, применив Гаусса теорему,
$E_{r} 4 \pi r^{2} = \frac{q_{включенный} }{ \epsilon_{0} }$, (где $E_{r}$ - проекция электрического поля вдоль радиальной линии).
$= \frac{ \rho_{0} }{ \epsilon_{0} } \int_{0}^{r} 4 \pi r^{2} \left ( 1 - \frac{r}{R} \right ) dr$
или, $E_{r} = \frac{ \rho_{0}}{3 \epsilon_{0} } \left [ r^{2} - \frac{3r^{2} }{4R} \right ]$
И для точки вне сферы $r > R$.
$q_{включенный} = \int_{0}^{R} 4 \pi r^{2 } dr \rho_{0} \left ( 1 - \frac{r}{R} \right )$ (так как за пределами шарика нет заряда)
Опять же из теоремы Гаусса,
$E_{r} 4 \pi r^{2} = \int_{0}^{R} 4 \pi r^{2} dr \rho_{0} \left ( 1 - \frac{r}{R} \right )$
или, $E_{r} = \frac{ \rho_{0} }{r^{2} \epsilon_{0} } \left [ \frac{R^{3} }{3} - \frac{R^{4} }{4R} \right ] = \frac{ \rho_{0} R^{3} }{12 r^{2} \epsilon_{0} }$
(б) Величина электрического поля уменьшается с ростом $r$ при $r > R$, поле будет максимальным при $r < R$. $E_{r}$ будет максимальным,
$\frac{d}{dr} \left ( r - \frac{3r^{2} }{4R} \right ) = 0$ или $1 - \frac{3r}{2R} = 0$ или $r = r_{m} = \frac{2R}{3}$
Следовательно $E_{max} = \frac{ \rho_{0}R }{9 \epsilon_{0} }$
Шар радиуса $R$ имеет положительный заряд, объемная плотность которого зависит только от расстояния $r$ до его центра по закону $\rho = \rho_{0} (1 - r/R)$, где $\rho_{0}$ — постоянная. Полагая диэлектрическую проницаемость шара и окружающего пространства равной единице, найти:
а) модуль вектора напряженности электрического поля внутри и вне шара как функцию расстояния $r$;
б) максимальное значение напряженности $E_{max}$ и соответствующее ему значение расстояния $r_{m}$.
Решение:
(a) Рассмотрим сферу радиуса $r < R$, тогда заряд, включенный в рассматриваемую сферу,
$q_{включенный} = \int_{0}^{r} 4 \pi r^{2} dr \rho = \int_{0}^{r} 2 \pi r^{2} \rho_{0} \left ( 1 - \frac{r}{R} \right ) dr$ (1)
Теперь, применив Гаусса теорему,
$E_{r} 4 \pi r^{2} = \frac{q_{включенный} }{ \epsilon_{0} }$, (где $E_{r}$ - проекция электрического поля вдоль радиальной линии).
$= \frac{ \rho_{0} }{ \epsilon_{0} } \int_{0}^{r} 4 \pi r^{2} \left ( 1 - \frac{r}{R} \right ) dr$
или, $E_{r} = \frac{ \rho_{0}}{3 \epsilon_{0} } \left [ r^{2} - \frac{3r^{2} }{4R} \right ]$
И для точки вне сферы $r > R$.
$q_{включенный} = \int_{0}^{R} 4 \pi r^{2 } dr \rho_{0} \left ( 1 - \frac{r}{R} \right )$ (так как за пределами шарика нет заряда)
Опять же из теоремы Гаусса,
$E_{r} 4 \pi r^{2} = \int_{0}^{R} 4 \pi r^{2} dr \rho_{0} \left ( 1 - \frac{r}{R} \right )$
или, $E_{r} = \frac{ \rho_{0} }{r^{2} \epsilon_{0} } \left [ \frac{R^{3} }{3} - \frac{R^{4} }{4R} \right ] = \frac{ \rho_{0} R^{3} }{12 r^{2} \epsilon_{0} }$
(б) Величина электрического поля уменьшается с ростом $r$ при $r > R$, поле будет максимальным при $r < R$. $E_{r}$ будет максимальным,
$\frac{d}{dr} \left ( r - \frac{3r^{2} }{4R} \right ) = 0$ или $1 - \frac{3r}{2R} = 0$ или $r = r_{m} = \frac{2R}{3}$
Следовательно $E_{max} = \frac{ \rho_{0}R }{9 \epsilon_{0} }$
