Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 7322
2018-05-14 
Бесконечно длинная цилиндрическая поверхность круглого сечения заряжена равномерно по длине с поверхностной плотностью $\sigma = \sigma_{0} \cos \phi$, где $\phi$ — полярный угол цилиндрической системы координат с осью z, совпадающей с осью данной поверхности. Найти модуль и направление вектора напряженности электрического поля на оси z.
Решение:
Возьмем участок цилиндра, перпендикулярный его оси, через точку, где должно вычисляться электрическое поле. (Все точки на оси эквивалентны.) Рассмотрим элемент $S$ с азимутальным углом $\phi$. Длина элемента $R d \phi$, $R$ является радиусом поперечного сечения цилиндра. Сам элемент представляет собой сечение бесконечной полосы. Электрическое поле в точке О от этой полосы составляет
$\frac{ \sigma_{0} \cos \phi (R d \phi) }{2 \pi \epsilon_{0} R }$ вдоль SO
Это можно решить следующим образом
$\frac{ \sigma_{0} \cos \phi d \phi }{ 2 \pi \epsilon_{0} } \begin{cases} \cos \phi \enspace вдоль\enspace OX \enspace в \enspaceнаправлении \enspace О \\ \sin \phi \enspace вдоль \enspace YO \end{cases}$
При интегрировании компонент вдоль YO исчезает. Остается
$\int_{0}^{2 \pi} \frac{ \sigma_{0} \cos^{2} \phi d \phi }{2 \pi \epsilon_{0} } = \frac{ \sigma_{0} }{2 \epsilon_{0}}$ вдоль XO, т. е. вдоль направления $\phi = \pi$.
Бесконечно длинная цилиндрическая поверхность круглого сечения заряжена равномерно по длине с поверхностной плотностью $\sigma = \sigma_{0} \cos \phi$, где $\phi$ — полярный угол цилиндрической системы координат с осью z, совпадающей с осью данной поверхности. Найти модуль и направление вектора напряженности электрического поля на оси z.
Решение:
Возьмем участок цилиндра, перпендикулярный его оси, через точку, где должно вычисляться электрическое поле. (Все точки на оси эквивалентны.) Рассмотрим элемент $S$ с азимутальным углом $\phi$. Длина элемента $R d \phi$, $R$ является радиусом поперечного сечения цилиндра. Сам элемент представляет собой сечение бесконечной полосы. Электрическое поле в точке О от этой полосы составляет
$\frac{ \sigma_{0} \cos \phi (R d \phi) }{2 \pi \epsilon_{0} R }$ вдоль SO
Это можно решить следующим образом
$\frac{ \sigma_{0} \cos \phi d \phi }{ 2 \pi \epsilon_{0} } \begin{cases} \cos \phi \enspace вдоль\enspace OX \enspace в \enspaceнаправлении \enspace О \\ \sin \phi \enspace вдоль \enspace YO \end{cases}$
При интегрировании компонент вдоль YO исчезает. Остается
$\int_{0}^{2 \pi} \frac{ \sigma_{0} \cos^{2} \phi d \phi }{2 \pi \epsilon_{0} } = \frac{ \sigma_{0} }{2 \epsilon_{0}}$ вдоль XO, т. е. вдоль направления $\phi = \pi$.
