Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 7320
2018-05-14 
Шар радиуса $R$ равномерно заряжен с объемной плотностью $\rho$. Найти поток вектора напряженности электрического поля через сечение шара, которое образовано плоскостью, отстоящей от центра шара на расстояние $r_{0} < R$.
Решение:
Рассмотрим кольцевой элемент радиуса $x$ и толщины $dx$, как показано на рисунке. Теперь поток через рассматриваемый элемент
$d \Phi = \vec{E} d \vec{S} = E_{r} dS \cos \theta$
Но $E_{r} = \frac{ \rho r}{3 \epsilon_{0} }$ из теоремы Гаусса,
и $dS = 2 \pi x dx, \cos \theta = \frac{r_{0} }{r}$
Таким образом, $d \Phi = \frac{ \rho r}{3 \epsilon_{0} } 2 \pi x dx \frac{r_{0} }{r} = \frac{ \rho r_{0} }{3 \epsilon_{0} } 2 \pi x dx$
Следовательно, искомый поток
$\Phi = \frac{2 \pi \rho r_{0} }{3 \epsilon_{0} } \int_{0}^{ \sqrt{R^{2} - r_{0}^{2} } } xdx = \frac{2 \pi \rho r_{0} }{3 \epsilon_{0} } \frac{ (R^{2} - r_{0}^{2} ) }{2} = \frac{ \pi \rho r_{0} }{3 \epsilon_{0} } (R^{2} - r_{0}^{2} )$
Шар радиуса $R$ равномерно заряжен с объемной плотностью $\rho$. Найти поток вектора напряженности электрического поля через сечение шара, которое образовано плоскостью, отстоящей от центра шара на расстояние $r_{0} < R$.
Решение:
Рассмотрим кольцевой элемент радиуса $x$ и толщины $dx$, как показано на рисунке. Теперь поток через рассматриваемый элемент
$d \Phi = \vec{E} d \vec{S} = E_{r} dS \cos \theta$
Но $E_{r} = \frac{ \rho r}{3 \epsilon_{0} }$ из теоремы Гаусса,
и $dS = 2 \pi x dx, \cos \theta = \frac{r_{0} }{r}$
Таким образом, $d \Phi = \frac{ \rho r}{3 \epsilon_{0} } 2 \pi x dx \frac{r_{0} }{r} = \frac{ \rho r_{0} }{3 \epsilon_{0} } 2 \pi x dx$
Следовательно, искомый поток
$\Phi = \frac{2 \pi \rho r_{0} }{3 \epsilon_{0} } \int_{0}^{ \sqrt{R^{2} - r_{0}^{2} } } xdx = \frac{2 \pi \rho r_{0} }{3 \epsilon_{0} } \frac{ (R^{2} - r_{0}^{2} ) }{2} = \frac{ \pi \rho r_{0} }{3 \epsilon_{0} } (R^{2} - r_{0}^{2} )$
