Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 7316
2018-05-14 
Пусть поверхностная плотность заряда на сфере радиуса $R$ зависит от полярного угла $\theta$ как $\sigma = \sigma_{0} \cos \theta$ где $\sigma_{0}$ — положительная постоянная. Показать, что такое распределение заряда можно представить как результат малого сдвига друг относительно друга двух равномерно заряженных шаров радиуса $R$, заряды которых одинаковы по модулю и противоположны по знаку. Воспользовавшись этим представлением, найти вектор напряженности электрического поля внутри данной сферы.
Решение:
Начнем с двух заряженных сферических шаров каждый радиуса $R$ с равными и противоположными плотностями заряда $+ \rho$ и $- \rho$. Центр шаров равны $+ \frac{ \vec{a} }{2}$ и $- \frac{ \vec{a} }{2}$ соответственно, поэтому уравнение их поверхностей $\left | \vec{a} - \frac{ \vec{a} }{2} \right | = R$ или $r - \frac{a}{2} \cos \theta \approx R$ и $r + \frac{a}{2} \cos \theta \approx R$, учитывая, что $a$ небольшой. Расстояние между двумя поверхностями в радиальном направлении под углом $\theta$ равно $| a \cos \theta |$ и не зависит от азимутального угла. Из рисунка видно, что поверхность сферы имеет, по существу, поверхностную плотность $\sigma = \sigma_{0} \cos \theta$, когда
$\sigma_{0} = \rho a$.
Внутри любого равномерно заряженного сферического шара поле является радиальным и имеет величину, заданную гауссовой теоремой
$4 \pi r^{2} E = \frac{4 \pi}{3} r^{3} \rho / \epsilon_{0}$
или $E = \frac{ \rho r}{3 \epsilon_{0} }$
В векторной нотации, используя тот факт, что $V$ должен быть измерен от центра шара, получим для данного случая
$\vec{E} = \frac{ \rho}{3 \epsilon_{0} } \left ( \vec{r} - \frac{ \vec{a} }{a} \right ) - \frac{ \rho}{ 3 \epsilon_{0}} \left ( \vec{r} + \frac{ \vec{a} }{2} \right ) = - \rho \vec{a} /3 \epsilon_{0} = \frac{ \sigma_{0} }{3 \epsilon_{0} } \vec{k} $
Когда $\vec{k}$ - единичный вектор вдоль полярной оси, от которой измеряется $\theta$.
Пусть поверхностная плотность заряда на сфере радиуса $R$ зависит от полярного угла $\theta$ как $\sigma = \sigma_{0} \cos \theta$ где $\sigma_{0}$ — положительная постоянная. Показать, что такое распределение заряда можно представить как результат малого сдвига друг относительно друга двух равномерно заряженных шаров радиуса $R$, заряды которых одинаковы по модулю и противоположны по знаку. Воспользовавшись этим представлением, найти вектор напряженности электрического поля внутри данной сферы.
Решение:
Начнем с двух заряженных сферических шаров каждый радиуса $R$ с равными и противоположными плотностями заряда $+ \rho$ и $- \rho$. Центр шаров равны $+ \frac{ \vec{a} }{2}$ и $- \frac{ \vec{a} }{2}$ соответственно, поэтому уравнение их поверхностей $\left | \vec{a} - \frac{ \vec{a} }{2} \right | = R$ или $r - \frac{a}{2} \cos \theta \approx R$ и $r + \frac{a}{2} \cos \theta \approx R$, учитывая, что $a$ небольшой. Расстояние между двумя поверхностями в радиальном направлении под углом $\theta$ равно $| a \cos \theta |$ и не зависит от азимутального угла. Из рисунка видно, что поверхность сферы имеет, по существу, поверхностную плотность $\sigma = \sigma_{0} \cos \theta$, когда
$\sigma_{0} = \rho a$.
Внутри любого равномерно заряженного сферического шара поле является радиальным и имеет величину, заданную гауссовой теоремой
$4 \pi r^{2} E = \frac{4 \pi}{3} r^{3} \rho / \epsilon_{0}$
или $E = \frac{ \rho r}{3 \epsilon_{0} }$
В векторной нотации, используя тот факт, что $V$ должен быть измерен от центра шара, получим для данного случая
$\vec{E} = \frac{ \rho}{3 \epsilon_{0} } \left ( \vec{r} - \frac{ \vec{a} }{a} \right ) - \frac{ \rho}{ 3 \epsilon_{0}} \left ( \vec{r} + \frac{ \vec{a} }{2} \right ) = - \rho \vec{a} /3 \epsilon_{0} = \frac{ \sigma_{0} }{3 \epsilon_{0} } \vec{k} $
Когда $\vec{k}$ - единичный вектор вдоль полярной оси, от которой измеряется $\theta$.
